[原创]用高中的排列组合知识解不定方程的正整数解的组数

林梦启

水桶原理可以试一试的

重生888

白先生好!您的方法成立,在哪一方面有应用?应用后得到什么结果?若为了哥猜就不必这么麻烦!

白新岭

吴代业你好，你好长时间不发帖子了吧！用重生888最先在歌德巴赫猜想版块中，谁能解释偶数的素数对随偶数的增大忽高忽低问题上发的帖子。一直以来你都坚持自己的观点，还创造WDY对数或者WDY筛子，这很好。我对歌猜原先并不感兴趣，以前我一直对m个自然数和的分布非常着迷，它可转化成线性方程正整数解的组数问题，也是排列组合的延伸，那是一个连续的自然数域。在2005年我统计出65536以内偶数的素数对，当时对歌猜没有认识，后来发现了特殊定义域中方程解的组数与条件的关系，也从有限的条件推到无限的条件上，规律没有改变，用不能整除2的2个自然数做和，合成的新数都是偶数，没有奇数，即合成偶数的概率为1，合成奇数的概率为0；如果用不能整除3的2个自然数做和，则得到3n类的数的概率为0.5，得到3n-1类或3n-2类的概率都是0.25.把此2个条件合并，得到合成6n类的概率为1*0.5=0.5，到6n-2类或6n-4类的概率都是0.25，而6n-1类，6n-3类，6n-5类的概率都是0.这些结论在歌猜中是成立的。
对于线性方程正整数解的组数在不同条件下研究有什么意义，能解决那类问题，现在我还不知道。我想解决了总有用得到的时候。

林梦启

简单探讨，供大家参考

白新岭

给出了求和公式，应该给出最后公式，与a,b有关的2次函数，形如f(N)=Ax^2+Bx+c.能做到吗？（它一定是个2次函数，不用取整函数，最少有a*b种分类才可以完全表示出来，这里a,b互质，不一定是质数，当没有系数1时，也应该有分类公式，还是2次的）

白新岭

林梦启先生提到了水桶原理，我不了解此原理，能给介绍一二吗？

白新岭

对于方程x+y+z+……+u=n,x,y,z,……,u不能整除P1,P2,P3,……,Pj.
求正整数解的组数问题，以前我是用待定系数法求公式，再求任意给定的n时方程符合
条件的正整数解的组数。用待定系数法最少需要m个周期内所有的值，m为给定的未知
数个数，周期=P1*P2*P3*……*Pj，所有限制条件的积，这些条件互质，但不一定是
质数，如4，9这样的条件也可以。
后来有林梦启先生的提示，不在用待定系数法了，可以用计数乘法原理进行分步计算，
这时，只要计算出一个周期内的所有组合，落到m个周期的方法，在与对应周期的组合
数相乘，后把不同周期的方法相加即可。
现在举例说明：
求x+y+z=n,x,y,z不能整除2，3，5；方程正整数解的组数。
先简单的介绍一下，它的组数是一个2次函数。把n个物体排成一排，从物体与物体
之间放2块木板，则共有C(n-1,2)=(n-1)*(n-2)/2种方法，如果x对应第一段物体的数量
y对应第二段物体的数量，z对应第三段物体的数量。则木板的放法正好是方程的正整数
解的组数（这样的组数无限制条件），当有限制条件时，其解的组数仍然是2次函数。
不能整除2，3，5的数，以2*3*5=30为周期，在第一周期内有1，7，11，13，17，19，
23，29.然后加上周期的倍数，都符合条件。2次函数形式有3个系数，所以需要3个
周期内n值对应的组数，现在把3周以内的3*8=24个元素做三维加法得到1，3，5，…
29，31，33，……，89对应的组数.
然后把1，31，61对应的组数代入2次函数，这样就求出了15类数的公式。
以上是用待定系数法求出n值对应的组数，下面是用分步法求的。
我们把1，7，11，13，17，19，23，29这8个基本元素做3维加法合成，得到分布在
3，5，7，9，11，……，87的合成方法。
另外，假设n=30*18+17,一周的方法为0，二周的方法为36，三周的方法为3，
所以，符合条件的解组数为0*C(18+3-1,3-1)+36*C(18-1+3-1,3-1)+3*C(18-2+3-1,3-1)
36*C(19,2)+3*C(18,2)=36*19*18/2+3*18*17/2=6615.
这里用到了x+y+z+……+u=n（m个未知数）的非负整数解的组数。
它的解为C(n+m-1,m-1)=(n+m-1)!/n!/(m-1)!.用（1+x)^(n+m-1)中x^(m-1)的系数
可以证明。
这样就可以求的任意线性方程限定条件下正整数解的组数。
在分步法中，可以直接证明此类公式是一组(m-1)次周期k的函数。
不过，当条件增多时，m变大时，组数还是很难求的。

白新岭

很久以前的一个话题。