[求助]怎样填入这九个数字？

dodonaomik

答案：

9 5 7
1 2 3
6 8 4

望提供解题的详细思路，非常感谢！！！

然后，我怀疑不只有一种答案吧？

dodonaomik

我当初这么考虑
a+b+c+d+e+f+g+h+i=45
a+2b+c+2d+4e+2f+g+2h+i=68
但是，据此我还是找不到突破口！

再个就是，考虑中心的2这个数字是怎么确定的？就是说依据什么？然后，中心是否一定得填2？

sdlijinghua

下面引用由dodonaomik在 2009/04/05 09:46pm 发表的内容：
我当初这么考虑
a+b+c+d+e+f+g+h+i=45
a+2b+c+2d+4e+2f+g+2h+i=68
但是，据此我还是找不到突破口！
...

突破口:
(a+2b+c+2d+4e+2f+g+2h+i)-(a+b+c+d+e+f+g+h+i)=68-45=23

据此，可以确定e的取值范围……

gaocd

最大的正方形上的和是9＋7＋4＋6＝26！

luyuanhong

下面是我编电脑程序搜索得到的这个问题的解：

（1）要求小正方形四角数字加起来都等于 17 ，有下列 5 种实质不同的解：
3 7 4     4 3 7     4 3 7     5 7 6     6 5 7
6 1 5     9 1 6     8 2 5     2 3 1     2 4 1
8 2 9     5 2 8     6 1 9     8 4 9     8 3 9

24 20    24 20    26 17    28 14    30 11

（2）要求小正方形四角数字加起来都等于 18 ，有下列 5 种实质不同的解：
2 9 3     3 9 6     3 9 6     4 9 5     4 9 6
6 1 5     4 2 1     5 1 2     2 3 1     3 2 1
7 4 8     5 7 8     4 8 7     7 6 8     5 8 7

20 24    22 21    20 24    24 18    22 21

（3）要求小正方形四角数字加起来都等于 19 ，有下列 8 种实质不同的解：
1 8 6     1 9 3     1 9 5     1 7 4     1 7 6     2 9 6     2 7 3     2 9 5
7 3 2     7 2 5     7 2 3     9 2 6     9 2 4     5 3 1     6 4 5     7 1 4
4 5 9     6 4 8     4 6 8     5 3 8     3 5 8     4 7 8     8 1 9     3 8 6

20 22    18 25    18 25    18 25    18 25    20 22    22 19    16 28

（4）要求小正方形四角数字加起来都等于 20 ，有下列 7 种实质不同的解：
1 8 3     1 9 2     1 9 4     2 7 3     2 9 6     3 9 4     4 5 6
6 5 4     6 4 5     8 2 5     5 6 4     5 4 1     2 6 1     3 8 1
7 2 9     7 3 8     3 7 6     8 1 9     3 8 7     3 5 9     7 5 8

20 20    18 23    14 29    22 17    18 23    22 17    26 14

上面每一种解的下面，有两个数字，第一个数字是大正方形四角数字之和，

第二个数字是大正方形四边中间的四个数字，即中正方形四角数字之和。

我们可以看出，只有下面这个解，真正做到了图中各个正方形，不管是大正方形、
是中正方形、还是小正方形，四角的数字之和都相等，都等于 20 ：

    １─８─３
     │╱ │ ╲│
    ６─５─４
     │╲ │ ╱│
    ７─２─９
   

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/04/07 11:57pm 第 1 次编辑]

下面证明：如果要求在大、中、小正方形的四角的四个数字之和都相等，那么这个问题只有唯一的一个解。

    ａ─ｂ─ｃ
     │╱ │ ╲│
    ｄ─ｅ─ｆ
     │╲ │ ╱│
    ｇ─ｈ─ｉ

因为 a,b,c,d,e,f,g,h,i 是从 1 到 9 这 9 个数字，所以必有
    a+b+c+d+e+f+g+h+i=45  （1）
要求4个小正方形四角数字之和相等，设它们都等于 N ，则有
    a+b+d+e=N    （2）
    b+c+e+f=N    （3）
    d+e+g+h=N    （4）
    e+f+h+i=N    （5）
如果还要求大正方形四角数字之和也等于 N ，则还有
    a+c+g+i=N    （6）
如果还要求大正方形四边中间数字之和（中正方形四角数字之和）也等于 N ，则还有
    b+d+f+h=N    （7）
（2）+（3）+（4）+（5）-（1），得
    b+d+f+h+3e=4N-45 ，即 b+d+f+h=4N-45-3e （8）
（8）-（2），（8）-（3），（8）-（4），（8）-（5），得
    -a+f+h=-c+d+h=-g+b+f=-i+b+d=3N-45-2e   （9）
2×（1）-（2）-（3）-（4）-（5），得
    a+c+g+i-2e=90-4N ，即 a+c+g+i=90-4N+2e （10）
（2）-（3）-（4）+（5），得
    a-c-g+i=0 ，即 a+i=c+g （11）
（11）代入（10），可得
    a+i=c+g=45-2N+e  （12）
（6）-（10），得
    0=5N-90-2e    （13）
（7）-（8），得
    0=-3N+45+3e ，e=N-15  （14）
（14）代入（13），得
    0=5N-90-2N+30=3N-60 ，N=20  （15）
（15）代入（14），得
    e=N-15=20-15=5    （16）
（15）（16）代入（12），得
    a+i=c+g=45-2N-e=45-40+5=10  （17）
（15）（16）代入（9），得
    -a+f+h=-c+d+h=-g+b+f=-i+b+d=3N-45-2e=60-45-10=5  （18）
先考虑 a 。如果令 a=1 ，由（17）可知必有 i=10-a=9 。
由（18）可知有 f+h=5+a=6 。f,h 只能是一个 2 ，一个 4 。
令 f=4 ，h=2 。代入（18）得
    -c+d=5-h=3 ，-g+b=5-f=1 。
因为未使用数字只有 3，6，7，8 ，容易看出，只有令
    c=3 ，d=6 ，g=7 ，b=8 。
这样就得到了一个解

    １─８─３
     │╱ │ ╲│
    ６─５─４
     │╲ │ ╱│
    ７─２─９

在上面的解里，数字 2 在大正方形边上，要得到实质不同的解，必须把 2 放到大正方形角上。
如果令 a=2 ，由（17）可知必有 i=10-a=8 。
由（18）可知有 f+h=5+a=7 。f,h 可能是 1,6 或 3,4 。
如果令 f=1 ，h=6 。代入（18）得
    -c+d=5-h=-1 ，-g+b=5-f=4 。
因为未使用数字只有 3，4，7，9 ，显然无法满足上述两个等式。
如果令 f=3 ，h=4 。代入（18）得
    -c+d=5-h=2 ，-g+b=5-f=1 。
因为未使用数字只有 1，6，7，9 ，显然无法满足上述两个等式。
由此可见，2 不能放到大正方形角上。所以，除了前面得到的解以外，不可能再有其他的解了。

Bardo

这个问题，在我国古代算术中就有记载，不知是哪一本书了。
就是古老的排九宫问题。
方法很简单。
第一步，逐行写出九个数，
第二步，两对边中间的数对调，即是楼主所要的结果，
第三步，再将已对调的数拉向远方，是原来的边变成角，使原来的角变成边的中点，
则就成了行列相加与对角对相加和均相等的组合了。
并且，现代数学中也有一个分支研究这个问题，叫幻方，3阶幻方，即是这个东西，并且是最小的幻方。

王守恩

luyuanhong 发表于 2009-4-7 23:51
[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/04/07 11:57pm 第 1 次编辑]

下面证明：如果要求在大、中、小正方形 ...

下面证明：如果要求在大、中、小正方形的四角的四个数字之和都相等，那么这个问题只有唯一的一个解。

    ａ─ｂ─ｃ
    │╱│╲│
    ｄ─ｅ─ｆ
    │╲│╱│
    ｇ─ｈ─ｉ

1。e=5。N=20。
    a+b+c+d+e+f+g+h+ｉ=45  （1）
    a+b+d+e=N    （2）
    b+c+e+f=N    （3）
    d+e+g+h=N    （4）
    e+f+h+ｉ=N    （5）
    a+c+g+ｉ=N    （6）
   (2)+(3)+(4)+(5)+(6)。2*(a+b+c+d+f+g+h+ｉ)+4e=5N=90+2e
   90+2e=95。不可以。
   90+2e=100。N=20。e=5。
   90+2e=105。不可以。
   90+2e=110。不可以。
2。1(总得有个位置放)可以放a或b。b=1则a+d=c+f=14=5+9=6+8=7+7不可能。只能a=1。
3。14=b+d=6+8=8+6。不妨是b=8。d=6。20=8+6+f+h.6=f+h=1+5=2+4=3+3。f+h=2+4。
4。7=a+d=c+f=4+3=3+4。c=3,f=4。—看得懂吧？—b+e=8+5=13。所以7=a+d=c+f=......
5。h=2,  g=7,  ｉ=9 是唯一的。

这样就得到一个唯一解

    １─８─３
    │╱│╲│
    ６─５─４
    │╲│╱│
    ７─２─９

王守恩

搞复杂了。简单一点。

由e=5。N=20。可得 a+b+d=b+c+f=d+g+h=f+h+i=15。

15=1+6+8=2+4+9=2+6+7=3+4+8  => a,c,g,i=1,3,7,9。b,d,f,h=2,4,6,8。