一个空间最多能被分成几块？

luyuanhong

一个空间最多能被分成几块？

作者 | 大小吴

相信大家在小学奥数中都遇到这样一个问题：4条直线最多能将平面分成几部分？这个问题并不能难倒我们，但是如果将问题改为：4个平面最多能将空间分为几部分？这下子我们可能就要放弃了。

为了解决这个问题，今天我们就来研究一组相关的问题，这些问题的解决方案都涉及数学归纳法。

问题1 : n 个点最多能将一条直线分为多少个区域?

1个点：

2个点：

3个点：




当一个额外的点被添加到这条直线上会发生什么呢？

我们观察一下：每次一个新的点 P 被添加到这条直线上，它必须被插入到由之前的点决定的一个现有的区域 R 中。因此，该区域被划分为两个区域 R' 和 R" ，而之前的所有其他区域保持不变。因此，当向直线添加一个新点时，只添加一个新区域。



问题2 : n 条直线最多能将一条平面分为多少个区域?

1条直线：

2条直线：

3条直线：

4条直线：




我们来看看如果5条直线的情况。




问题3 : 空间中 n 个平面最多划分多少区域?






现在尝试联系问题1、2、3



参考文献

[1]G.波利亚.数学与猜想:数学中的归纳和类比(第1卷)[M].科学出版社，2001.

王守恩

谢谢陆老师！

爬楼梯问题。
LinearRecurrence[{4, -6, 4, -1}, {1, 2, 4, 8}]
h(n)=1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, 299, 378, 470, 576, 697, 834,
988, 1160, 1351, 1562, 1794, 2048, 2325, 2626, 2952, 3304, 3683, 4090, .......

026=4×08-6×04+4×02-1×01
042=4×15-6×08+4×04-1×02
064=4×26-6×15+4×08-1×04
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130=4×64-6×42+4×26-1×15
176=4×93-6×64+4×42-1×26