在直角 ΔABC 中，∠BAC 为直角，AE⊥BC ，已知 BD=DC=CE=1 ，求 AC

wintex

在直角 ΔABC 中，∠BAC 为直角，AE⊥BC ，已知 BD=DC=CE=1 ，求 AC

luyuanhong

Ysu2008

令三角形ABC三顶点依次对应a,b,c三边 ，根据勾股定理，有
(1) b^2 + c^2 = a^2
(2) (b-1)^2 + c^2 = 1
(3) (AE)^2 = c^2 - (a-1)^2 = b^2 - 1

将(2)代入(1)消去c :
b^2 + 1 - (b-1)^2 = a^2
整理得
(4) 2b = a^2

将(2)代入(3)消去c :
1 - (b-1)^2 - (a-1)^2 = b^2 - 1
整理得
(5) 2b - a^2 + 2a = 2b^2

将(4)代入(5) 得
(6) a = b^2

将(6)代入(4)消去a :
2 = b^3

luyuanhong

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王守恩

luyuanhong 发表于 2020-3-5 00:08

设 ∠ABC=∠ACB=∠BAE=k，∠BDA=2k
在 ΔABD中，BD=1=sin90，AB=sin2k，AD=cos2k
在 ΔABE中，AB=sin2k，EA=cosksin2k，EB=sinksin2k
我们有：(EA)^2=EB*EC
(cosksin2k)^2=sinksin2k*1
可得：cosk=(1/2)^(1/3)  
AC=1+cos2k=2*(cosk)^2=2^(1/3)

luyuanhong

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王守恩

luyuanhong 发表于 2020-3-7 17:50
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不能放过，好的题目！
设 ∠ABC=∠ACB=k，∠ADB=2k
在 ΔABD中，BD=1，AB=sin2k，AD=cos2k，
得 AC=cos2k+1=2*(cosk)^2
在 ΔACE中，AC/sin90=1/cosk，得 AC=1/cosk
AC=2*(cosk)^2=1/cosk，得 cosk=(1/2)^(1/3)
AC=2*(cosk)^2=1/cosk=2^(1/3)