A(4,3,2),B(2,3,4) 是空间两点，满足 PA=PB 的 P 点的轨迹是一个平面，不仅仅是 y 轴

wintex

請問幾何

波斯猫猫

y轴上的任意一点为（0，a，0），当然y轴不过点（3，3，3）。

wintex

波斯猫猫 发表于 2020-3-11 22:04
y轴上的任意一点为（0，a，0），当然y轴不过点（3，3，3）。

老師，我想問的是pa=pb的直線一定通過a,b的中點，滿足此條件的直線有無限多條，構成一個平面。
繼然y軸也在平面上，y軸應該也滿足到a,b等距，所以應該要通過a,b中點，但他沒有。

luyuanhong

题  A(4,3,2),B(2,3,4) 是空间两点，求满足 PA=PB 的 P 点的轨迹。

解  设 P 点的坐标为 P(x,y,z) 。

       (x-4)^2+(y-3)^2+(z-2)^2 = PA^2 = PB^2 = (x-2)^2+(y-3)^2+(z-4)^2 。

    上式展开约简后，可得        x-z=0 。

    这就是满足 PA=PB 的 P 点的轨迹的方程。可以看出，E:x-z=0 是一个平面。

    y 轴的方程可以表示为 x=z=0 。

    将 y 轴的方程 x=z=0 代入平面 E:x-z=0 的方程，有 0-0=0 ，等式成立。

    这说明，y 轴落在平面 E 上，y 轴是平面 E 的一部分。

    但是，平面 E 并不是仅仅只有 y 轴，除了 y 轴以外，还有其他许多点。

    例如 AB 的中点 M(3,3,3) ，将 M 点的坐标代入 E:x-z=0 ，有 0-0=0 ，等式成立。

    说明 M(3,3,3) 落在平面 E 上，但是 M 点显然并不在 y 轴上。

    M(3,3,3) 就是虽然落在平面 E 上，但是并不落在 y 轴上的一点。

wintex

luyuanhong 发表于 2020-3-11 22:35
题  A(4,3,2),B(2,3,4) 是空间两点，求满足 PA=PB 的 P 点的轨迹。

解  设 P 点的坐标为 P(x,y,z) 。

請問老師：
P點在y軸上，則 PA=PB,故y軸是AB的中垂線，那中垂線y軸必通過AB中點（3,3,3），但顯然沒有。
何故？

luyuanhong

wintex 发表于 2020-3-12 07:24
請問老師：
P點在y軸上，則 PA=PB,故y軸是AB的中垂線，那中垂線y軸必通過AB中點（3,3,3），但顯然沒有。 ...

“满足 PA=PB 的 P 点的轨迹是一直线，也就是 AB 的中垂线” ，这是平面几何中的结论。

但是，在空间中，上述平面几何的结论就不成立了。

在空间中，满足 PA=PB 的点的轨迹，并非只是一条中垂线，而是一个“中垂面”   。

在 “中垂面” 上，除了 y 轴以外，还有许许多多其他的不在 y 轴上的点。