赫渥特构形的最新4—着色方法

雷明85639720

赫渥特构形的最新4—着色方法
雷  明
（二○二○三月十四日）
（这里发不上图，请到《中国博士网》上去看）

坎泊在证明四色猜测的过程中，遗漏了一种不可免的构形，后来被赫渥特发现了。把具有赫渥特发现的这种构形特征的构形就叫赫渥特构形，简记H—构形。这种构形具有双环交叉链A—C和A—D，不能空出A、C、D三色之一给待着色顶点V（如图1到图3）；从一个B交换了B—D或B—C，则生成了从另一个B到其对角顶点的B—C链或B—D链，也不能连续的移去两个B（如图4到图9）。


这三个构形的区别在于其中A—B链和C—D链的结构不同。图1有一条经过了围栏4D和5C两个顶点顶点的环形的C—D链；图2有一条经过了围栏1B、2A和3B三个顶点顶点的环形的A—B链；图3则没有任何经过围栏顶点的环形链（如图10到图12）。


可以证明，无环形链的构形是可以转化成有环形链的构形的。在一个无环形链的构形中，不管两条相反链A—B和C—D是如何的弯曲，但与任一条链相邻的顶点总是另一条链中的顶点（如图13，a）。在一条U形的A—B链的凹口内，必定是一条与其相反的C—D链。在U形的A—B链凹口两侧的某两个A或者两个B间，一定会存在着一个着有C或D的顶点（或者说在C—D链上，也一定存在着一个C点或D点，同时连接着A—B链上的两个A点或B点），改变这个顶点的颜色C或D为A或B，就可以使U形的A—B链闭合，形成环形，而使C—D链断开成为互不连通的两段（如图13，b）。当然了，也可以使图13中的倒U形的C—D链成为闭合的环形链，而使A—B链断开。图3中的无环形链的构形可以分别转化成图1的有环形链C—D的构形或图2的有环形链A—B的构形（如图14和图15）。


看来，解决H—构形的可约性问题，就只研究有环形链的构形就可以了。由于双环交叉链是构成H—构形的必要条件，所以必须想办法使双环交叉链A—C或A—D断开，由连通变成不连通。该两链中的关键顶点是：1A（两环链的起始顶点），8A（两环链的交叉顶点）和4D，5C（4D和5C分别是两环链的终结顶点）。这些关键顶点的颜色如果改变，双环交叉链就会断开。现在就利用改变关键顶点颜色的办法，来研究H—构形的可约性。
图14的有环形链A—B的构形，可以改变顶点4D和5C的颜色。交换A—B环内的C—D链，4D和5C分别变成了4C和5D（如图16），使A—C环和A—D环变得实际上的不“十字”交叉；也可以交换A—B环外的C—D链，使得构形中不存在实际上的双环“十字”交叉（如图17）。图16和图17是两个可以空出任何颜色给待着色顶点的构形。然后再用可空出颜色的K—交换法，使图16可得到以下五种着色模式（如图18到图22）；同样的，图17也可以得到不同的五种着色模式。


对于图15的有环形链C—D的构形，可以改变顶点2A或8A的颜色，分别从2A和8A交换A—B链，都可使连通的A—C和A—D链断开，图中不再有双环交叉链（如图23和图24）。图23和图24是两个只能空出A、C、D之一给待着色顶点的构形。然后再用可空出颜色的K—交换法，使图23可以得到以下四种着色模式（如图25到图28）；同样的，图24也可以得到不同的五种着色模式。


当构形中不存在任何环形链时，但该两链又各不只是一条时，可以认为是有一条环形链的构形，而对另一条相反链的任一支进行交换，图就会变成无双环交叉链的构形，也就成了K—构形了。如图29的构形，无论是从顶点2A，还是从顶点8A开始交换A—B链，或是交换4D—5C的C—D链，还是交换6C—7D的C—D链，都可以使图成为无双环交叉链的K—构形，再用解决K—构形的办法去解决就行了。


最后，当图3、图4、图5这几个标准的赫渥特构形的顶点数都减少到了如同图1的基本模型那样的“九点形”构形时（如图30，图31，图32），有环开链A—B的构形和无环形链的构形均转化成了可以连续的移去两个同色B的K—构形，而只有有环形链A—B赫渥特构形。


现在，各种情况下的H—构形都已经是可约的了，加上坎泊已证明过的K—构形也是可约的，所有的平面图的不可免构形都是可约的了，四色猜测也就证明是正确的了。


雷  明
二○二○年三月十四日于长安

注：此文已于二○二○年三月十四日在《中国博士网》上发表过，网址是：