张禾瑞《近世代数基础》中的一道习题

天元酱菜院

整理旧时笔记，翻到一则习题，感到有趣，拿出来与大家分享。

elim

支持分享抽象代数的内容. 谢谢

elim

对换位子 [a,b] = (ba)^{-1}(ab), 容易知道
ab = ba 当且仅当 [a,b] = e

设 a(g) = g^(-1) a g 是 a 关于 g 的共轭元, 则有  [a,b](g) = [a(g), b(g)]

另外, 不难看出  C = <{[a,b] |  a,b∈ G}>  即 C 是 G 的换位子全体张成的群.

利用这些, 主贴的证明可简化不少.  

天元酱菜院

关于共轭元，依共轭元定义易得到： 对任意a,b属于G都有   a(g) b(g) = (ab) (g)   
并由此有，a(g) a逆(g) =e (g) = e  (或说，a(g)的逆 就是(a逆)(g)。 )；
于是，[a,b] (g) = (a逆)(g) (b逆)g a(g)b(g) =[a(g),b(g)] 。 以上作为引理。
在主贴中，（1）中证明C是不变子群时， 由于对任意a属于G,c属于C， ac a逆 = 共轭元c(a逆)，而c可以表成  ∏(i=1 to k)  [mi,ni] ,  由引理 c(a逆) = ∏(i=1 to k)  [mi(a逆),ni(a逆)]  属于C.  即C是不变子群。
=========在证明(2)与(3)之前，说明换位子的一个特性，任a,b属于G，ba[a,b]=baa逆b逆ab=ab;
可见换位子名称与此有关。由此又有[a,b] [b,a] =e  (换过去又换回来)，同理还有[a逆,b逆]ba=ab和
[a逆,b逆][b逆,a逆]=e
(2)可以更简洁一些，只需证明对任意a,b属于G，都有 ba属于陪集abC 即可，但ba=ab[b,a]。
    而[b,a]是换位子，显然属于C，即ba属于陪集abC 。
(3)由于G/N是交换群，对任意a,b属于G, 都有ba属于陪集abN, 即存在n属于N，使ba=abn。
    但我们有 ba=ab[b,a], 即abn=ab[b,a] 由消去律，[b,a]=n属于N .  由 a,b的任意性，N包含所有的换位子，再由N是群，N包含换位子张成的群C中的一切元。

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elim兄， 这里还可以探讨，N是G的不变子群，C也是，并且N含有C,所以C也是N的子群，这里，G/N和G/C，以及N/C之间是什么关系，有什么结论？    多谢。