用非标准分析方法证明广义函数中与冲激函数（Dirac 的 δ 函数）有关的几个公式

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/07/28 11:44am 第 1 次编辑]

luyuanhong

这是我在《数学中国》论坛上，曾经发过的一个帖子：
“sinx/x 在 (0,+∞) 上的积分等于 π/2”
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3647

luyuanhong

这是我在《数学中国》论坛上，曾经发过的一个帖子：
“当 a→+∞ 时，f(x)sin(ax)/x 在 [0,b] 上的积分等于 πf(0)/2”
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3697

fleurly

陆老师， 非标准分析跟标准分析啥区别？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/07/29 00:24pm 第 1 次编辑]

下面引用由fleurly在 2009/07/29 09:23am 发表的内容：
陆老师， 非标准分析跟标准分析啥区别？

在微积分初期发展阶段，数学家提出了无穷小和无穷大的概念，在微积分中，把无穷小量和无穷大量作为基本概念来使用。
但是，由于那时还没有建立微积分的严格的理论基础，人们对无穷小量、无穷大量的概念还有许多疑惑不解的问题，例如：
无穷小量到底等于不等于 0 ？如果无穷小量不等于 0 ，为什么在极限计算时可以将它当作 0 一样省略掉？
如果无穷小量等于 0 ，为什么求导数时可以将它作为分母？为什么无穷多个无穷小量累加起来可以不等于 0 ？
而且，由于大家不加限制地随便滥用无穷小量和无穷大量的概念，得出了一些荒谬的结论，推导出了一些明显错误的结果。
所以，后来数学家们开始对无穷小量、无穷大量的概念产生了强烈的怀疑和不满，产生了抛弃这些概念的想法。
十九世纪中，Cauchy、Weierstrass 等人提出了处理极限的 ε-δ,ε-N 方法，建立了一套严格的微积分理论。在这套理论中
实际上排除了无穷小量、无穷大量的概念。我们现在大学里教学的、人们普遍接受和使用的，就是这一套传统的微积分理论。
在这套传统的标准的微积分理论中，有时也会说到“无穷小量”和“无穷大量”，但是，只是把它们当作ε-δ,ε-N 方法的
一种临时性的、形象化的通俗说法，并不是把它们当作有严格定义的基本的数学概念来使用，实际上是对它们是尽量回避的。
正是因为这个缘故，所以在现在的数学书中，几乎看不到对“无穷小量”、“无穷大量”有像我那样的细致的形象的描述。
二十世纪六十年代初，美国逻辑学家 Abraham Robinson 建立了一套“非标准分析（Nonstandard Analysis）”的理论。
他把无穷小量、无穷大量的概念重新引入到微积分中来，而且建立了一套在逻辑上十分严密的完整的理论。
在非标准分析中，可以把无穷小量、无穷大量作为实在的数学概念来使用，而且保证不会产生错误的结果和带来荒谬的结论。
我是在几十年前读大学时，接触到这种非标准分析理论的，当时我主要阅读了这样几本外文数学书：
Keisler,H.Jerome, Foundatons of Infinitesinal Calculus(无穷小微积分基础), Prindle,Weber & Schmidt,Inc.(1976)
Davis,Matin, Applied Nonstandard Analysis(应用非标准分析), Jonh Wiley & Sons,Inc.(1977)
Lutz,Robert & Goze,Michel, Nonstandard Analysis(非标准分析), Springer-Verlag Berlin Heidelberg(1981)
当时，很难看到这方面的中文的参考书，现在有没有这方面的中文书，我就不知道了，大概也非常少。
我看了这些书以后，最大的收获，就是在脑子里建立了一幅关于无穷小量和无穷大量的生动具体的形象，对于微积分中许多
使人感到困惑、感到难以理解的问题，觉得一下子变得都很清楚、很容易理解了。
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参看我在《数学中国》《基础数学》中发表的帖子：
“非标准分析”简介
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=4932

用“非标准分析”观点看无穷大量和无穷小量
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=5342

非标准分析中关于函数极限、导数和曲线切线的定义
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=5376

非标准分析中的无穷单位元Ω与标准微积分中的无穷大∞是什么关系？
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=5321

怎样看罗宾逊非标准分析中的“无穷”和康托集合论中的“无穷”
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=4186

白洞先生在《数学中国》《基础数学》中有一篇介绍“非标准分析”的帖子
现代数学中的新理论--非标准分析
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=1182
也很好，你也可以去看一下。

jzkyllcjl

[这个贴子最后由jzkyllcjl在 2009/07/30 07:00am 第 1 次编辑]

非标准分析中的无穷大与无穷小的提出，使用了违反实践的“实无穷”观点！所以那种数是无有实践依据的，应当放弃的数！A.鲁宾逊在他的第十章也引用过莱布尼兹的话说：“因为我们也可以不用无限大或无限小，而用足够大或足够小”！

fm1134

非常感谢陆老师这么详尽的解答！

jzkyllcjl

我在第十二章讨论了这种Dirac 的 δ  函数表达式，而且讨论了它在物理学中的应用！在我的讨论中不使用无穷大数！无穷大数的提出是无根据的！