无环形链的构形转化成有环形链的构形的三种方法

雷明85639720

无环形链的构形转化成有环形链的构形的三种方法
雷  明
（二○二○年三月二十七日）
（在这里我上传不了图片，请到《中国博士网》中去看）

前几天我写了关于无环形链的H—构形转化成有环形链的H—构形的方法的文章，今天再补充一种方法。

所谓有、无环形链的构形，是指有没有经过H—构形围栏顶点的环形链的构形，简称有环形链的构形或无环形链的构形。图1就是一个无环形链的构形。图中的A—B链和C—D链虽都经过了构形的围栏顶点，但却没有构成环。图中除有双环交叉链A—C和A—D外，还有从一个同色顶点点B交换了与其对角顶点颜色构成的色链B—D（或B—C）后，就会新生成从另一个同色顶点B到其对角顶点的连通链B—C（或B—D）的特征，不能空出任何一种颜色来。
前文中，根据本文图2的原理，改变某色链中某一顶点的颜色，就可以使与其呈相反链的另一色链产生环形，本色链断开成互不连通的两部分。对图2改动A—B链和C—D链中的某一加大顶点的颜色，就可分别得到含有环形链C—D或A—B的构形（如图3和图4）。但这样的转化是在构形的峰点位置与颜色都未发生变化的情况下进行的，构形仍是原来的BAB型，峰点仍在顶点2的位置上。

从图1中我们看到，无环形链的构形中，总存在从一个同色顶点B到双环交叉链的交叉顶点8A的A—B链，可不可以把顶点6C（或7D）改成6B（或7B），产生了从1B（或3B）—2A—6B（或7B）—8A，再经原有的8A到1B（或3B）的A—B链，回到顶点1B，构成环形的A—B链呢？如果能这样，无环形链的构形就转化成了有环形链的构形了。
现在我们来对图1进行分析，看有没有这种可能。对于极大图来说，顶点6C，7D，8A是一个面，三条边上再无别的顶点，别的顶点和边只能在这三点和三边之外；顶点2A，6C，7D也是一个面，别的顶点的边也只能在这三点之外。且6C和7D之间若再有别的顶点时，则图就不是H—构形了，即不可能从一个B色顶点交换了与其对角顶点颜色构成的色链后，就产生从另一个B色顶点到其对角顶点的连通链。顶点3B到6C一定是一条B—C链，否则图也就不是H—构形了。图1中有从1B顶点到8A顶点的A—B链，因此从另一个同色顶点3B交换与其对角顶点5C构成的B—C链（转型交换），就可以达到把顶点6的颜色从C变成B的目的（如图5）。

请注意，这一种转化，构形的类型也是发生了变化的，由原来的BAB型转化成了现在的CDC型，构形的峰点由原来的顶点2变成了现在的顶点5，颜色由原来的A变成了现在的D。原来的非环形的A—B链是经过了三个围栏顶点的，现在的环形的A—B链只经过了两个围栏顶点。现在可以按有经过两个围栏顶点的有环形链的构形进行处理了。交换经过双环交叉链D—A和D—B的起始顶点5D或交叉顶点7D的C—D链（图中的加大顶点），都可以使双环交叉链断开，图变成K—构形而可约（图读者自已做）。
上文中我们是以张彧典先生的第八构形（如图６）进行举例的，现在仍以其作例。图中有从一个同色顶点3B到双环交叉链A—C与A—D的交叉顶点8A的A—B链，从另一个同色顶点1B交换与其对角顶点4D的颜色构成的B—D链，一定会得到一个有经过两个围栏顶点的A—B环形链的构形（如图7）。该构形是一个DCD型的构形。用交换经过现有双环交叉链C—A和C—B的共同起始顶点5C或交叉顶点6C的C—D链，双环交叉链就会断开，图成为K—构形而可约。

由此可以看出，把H—构形分为有环形链的构形和无环形链的构形还是正确的。有环形链有构形用断链交换法解决，无环形链的构形先转化成有环形链的构形，再用有环形链的构形的解决办法解决是一定是可以的。这样平面极大图的任何H—构形就都是可约的了。不再要进行证明转型交换的最大次数的上限值了，埃雷拉图也就可以归入有环形链的一类构形进行处理了。
按照以上把无环形链的构形转化成有环形链的构形的方法，可以想象，有经过构形围栏三个顶点的环形链的构形，一定也是可以转化成有经过构形两个围栏顶点的同名环形链的构形的。这样就可以把除了埃雷拉图外的任何H—构形，最后都可以用有经过围栏两个顶点的环形链的构形的办法处理了。由于埃雷拉图虽是有经过了三个围栏顶点的A—B环形链的构形，但因其不能转化成只经过两个围栏顶点的有环形链的构形，而只能继续使用断链交换法解决了。
现在不可免的H—构形都是可约的了，极大平面图的四色问题就已解决了，则地图的四色问题和任意平面图的四色问题也就都得到了解决。四色猜测是正确的。

雷  明
二○二○年三月二十七日于长安

注：此文已于二○二○年三月二十七日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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