整系数多项式 P(x) 满足 P(17)=11，P(25)=19，P(n)=n+8 有整数解 n1＜n2 ，求 n1,n2

wintex

P(x):整係數多項式
P(17)=11,P(25)=19, P(n)=n+8 有兩個不同整數解 n1, n2, n1<n2
求 n1, n2

luyuanhong

题  整系数多项式 P(x) 满足 P(17)=11 ，P(25)=19 ，P(n)=n+8 有整数解 n1＜n2 ，求 n1,n2 。

解  因为 P(n) = n+8 有两个解，可见 P(x) 是二次多项式。设 P(x) = ax^2+bx+c ，则有

    11 = P(17) = a×17^2+b×17+c = 289a+17b+c ，17b+c = 11-289a  （1）

    19 = P(25) = a×25^2+b×25+c = 625a+25b+c ，25b+c = 19-625a  （2）

   （2）-（1）得  8b = 8-336a ，b = 1-42a （3）

   （3）代入（1）得 17(1-42a)+c = 11-289a ，c = 11-289a-17+714a = 425a-6  （4）

   （3）,（4）代入 P(n) = n+8 ，即 P(n)-n-8 = an^2+(b-1)n+c-8 = 0 ，得

     an^2+(1-42a-1)n+425a-6-8 = an^2-42an+425a-14 = 0 ，即 n^2-42n+425-14/a = 0 （5）

    可求得方程（5）的两个解为  n1,n2 = 21±√(16+14/a) 。

    因为已知 n1,n2 都是整数，所以从上式可以看出，a 必须是 14 的因数，下面逐个试算：

    a = 1 时，n1,n2 = 21±√(16+14/1) = 21±√(16+14) = 21±√30 不是整数。

    a = 2 时，n1,n2 = 21±√(16+14/2) = 21±√(16+7) = 21±√23 不是整数。

    a = 7 时，n1,n2 = 21±√(16+14/7) = 21±√(16+2) = 21±√18 不是整数。

    a = 14 时，n1,n2 = 21±√(16+14/14) = 21±√(16+1) = 21±√17 不是整数。

    a = -1 时，n1,n2 = 21±√(16-14/1) = 21±√(16-14) = 21±√2 不是整数。

    a = -2 时，n1,n2 = 21±√(16-14/2) = 21±√(16-7) = 21±√9 = 21±3 是整数。

    a = -7 时，n1,n2 = 21±√(16-14/7) = 21±√(16-2) = 21±√14 不是整数。

    a = -14 时，n1,n2 = 21±√(16-14/14) = 21±√(16-1) = 21±√15 不是整数。

    由此可见，只有 a = -2 时才能得到整数解 n1,n2 = 21±3 ，因为 n1＜n2 ，所以

                     n1 = 21-3 = 18 ，n2 = 21+3 = 24 。

wintex

請問陸老師 這是為什麼?謝謝!
因为 P(n) = n+8 有两个解，可见 P(x) 是二次多项式

luyuanhong

P(n) = n+8 有两个解，也就是 P(n)-n-8=0 有两个解，可见 P(n)-n-8 是二次多项式。

二次多项式 P(n)-n-8 加上一次多项式 n+8 ，得到 P(n) ，显然 P(n) 仍是二次多项式。

wintex

請問陸老師
1. P(x)=5(x-1)(x-3)(x-5) 有解 1,5 但 p(x) 不是二次多項式？題目只有說有解
2. 整系數多項式P(x)=0 只有n個相異整數解，則p(x)必是n次多項式嘛？

wintex

想請問

elim

p(x)=8+x+(x-18)(x-24)(-2+(x-17)(x-25)u(x))
对任意整系数多项式u(x)满足题意．p 的次数至少是2．

wintex

謝謝 elim老師

wintex

wintex 发表于 2020-4-27 21:05
想請問

請問，那為何陸老師這樣做，答案沒錯？

wintex

wintex 发表于 2020-4-27 21:05
想請問

想請問