p∈Z[x],p(17)=11,p(25)=19,整数 m,n(> m) 是 p(x)=x+8 的解, 求 m, n.

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题: p(x) 是整系数多项式, p(17)=11,p(25)=19, 整数 m, n(> m) 是 p(x)=x+8 的解, 求 m, n.

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这是网友 Hoffman 的一个问题, 很有趣, 在此分享.

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令 p(x) = 8+x+(x-m)(x-n)q(x), 其中 q(x) 是整系数多项式.
则 11=p(17)=8+17+(17-m)(17-n)q(17)
    19=p(25)=8+25+(25-m)(25-n)q(25)
记 17-n = k, n = m+d (d 是正整数), 则上二式即
k(k+d)q(17)=-14=(k+8)(k+8+d)q(25),  (q(17), q(25) 皆非0整数)
k | 14, 故 k=±1,±2,±7,±14
但 k=1, ±2, ±14, 7 时 k+8,  不是 14 的因子,  k=-1 时
|(k+8)(k+8+d)q(25)|≥ 7(7+d)> 14. 故设 k = -7 于是有
(d-7)q(17)=2, (d+1)q(25) =-14.  由 1< d+1 | 14  且 |d -7|≤ 2
得 d = 6, 可见 k = -7, d = 6,  q(17)=q(25)=-2 即
(m,n)=(18,24),  p(x) = 8+x+(x-18)(x-24)(-2+(x-17)(x-25)u(x))
是原题的通解. 其中 u(x) 是整系数多项式.