【趣题征解】证明：在任何5个整数中，必定能找到3个整数，使它们的和能被3整除。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/09/29 03:43pm 第 1 次编辑]

【趣题征解】证明：在任何5个整数中，必定能找到3个整数，使它们的和能被3整除。

moranhuishou

[这个贴子最后由moranhuishou在 2009/09/29 04:41pm 第 1 次编辑]

设5个任意整数为a1 a2 a3 a4 a5 。
首先，只要有3个或3个以上的数字同余（mod3）.
则，取其中3个数相加，题目成立。
题目不成立的必要条件是最多只能有两个数是同余数
而这样，必有3个数字
ai=0(mod3)  aj=1(mod3) ac=2(mod3)

ai+aj+ac=0(mod3)
证毕。

luyuanhong

楼上的证明很好！

moranhuishou

这个证明也应该让一些人看看，什么叫做简洁的数学证明。

熊一兵

下面引用由moranhuishou在 2009/10/01 09:36am 发表的内容：
这个证明也应该让一些人看看，什么叫做简洁的数学证明。

更上一层楼

尚九天

    也请大家看看，什么叫：
                         ---- 酒债寻常处处有(杜甫)，“定理寻常不须证”！[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 尚九天 在 时添加 -=-=-=-=-


    例如：
    【定理】首项为素数的等差数列中素数无穷多.
    “不须证”也！

常量

下面引用由尚九天在 2009/11/10 05:01pm 发表的内容：
也请大家看看，什么叫：
                         ---- 酒债寻常处处有(杜甫)，“定理寻常不须证”！-=-=-=-=- 以下内容由 尚九天 在  时添加 -=-=-=-=-
    例如：
    【定理】首项为素数的等差数列中素数无　...

不对吧：
2，4，6，8，10，……
3，6，9，12，15，……
5，10，15，20，25，……
……
每一个等差数列中找不到第二个素数呀？

尚九天

下面引用由常量在 2009/11/10 10:59pm 发表的内容：
不对吧：
2，4，6，8，10，……
3，6，9，12，15，……
5，10，15，20，25，……
...

    先生指出极是，谢谢！加个条件就“不须证”了.
    【定理】首项为素数，且不与公差相等的等差数列中，素数无穷多.
    [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 尚九天 在 时添加 -=-=-=-=-


    【定理】首项为1的等差数列中素数无穷多. (寻常不须证)

zhaolu48

>【定理】首项为素数，且不与公差相等的等差数列中，素数无穷多.
3,9,15,21,…　首项3不等公差6
除首项外都是合数。
看来九天兄的定理还要完善。
这样也许差不多：
【定理】首项为素数，且与公差互素的无限等差数列中，素数无穷多.
【推论】首项与公差为不相等素数的无穷数列中，素数无穷多。

尚九天

    zhaolu48先生指教正确，
                          ---- 九天领教，谢谢！