【趣题征解】已知 x 是一个正有理数，1/x + x 是一个整数，证明： x=1 。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/09/29 04:06pm 第 1 次编辑]

【趣题征解】已知 x 是一个正有理数，1/x + x 是一个整数，证明： x=1 。

moranhuishou

设x=q/p,则
1/x + x =p/q+q/p=(p^2+q^2)/pq
因p q 互质，所以（（p^2+q^2，pq））=1
所以上式若为整数，只能有
pq=1,
也就是p q互为倒数。因p q均为整数。
只能有
p=q=1
x=1
证毕。

luyuanhong

楼上的证明很正确。
不过，为什么“因 p q 互质，所以 （p^2+q^2，pq）=1 ”的道理，没有说清楚，是否还可以说得更详细一点？

moranhuishou

下面引用由luyuanhong在 2009/09/29 05:21pm 发表的内容：
楼上的证明很正确。
不过，为什么“因 p q 互质，所以 （p^2+q^2，pq）=1 ”的道理，没有说清楚，是否还可以说得更详细一点？

因（p,q）=1,
所以（p^2，q^2）=1
所以p^2+q^2不可能有因子p或q.