请教一个指数中加减的项代入等价无穷小量的问题

gaddis · 发表于 2009-10-1 01:43

底部是cos x
指数是1/(x^2)
然后书上是把cos x=1-(1-cos x)
然后求x趋向于0时的极限值
书上直接把1-cos x用 (x^2)/2来代入了
我想请教一下，这里这样可以直接代入么？不需要后面加一个关于x平方的高阶无穷小量么？
谢谢哦

gaddis · 发表于 2009-10-1 09:44

麻烦老师指点一下
谢谢了哦

gaddis · 发表于 2009-10-1 10:21

在线等
请教请教

luyuanhong · 发表于 2009-10-1 11:01

在有些情况下，如果不考虑高阶无穷小，就会出错。

gaddis · 发表于 2009-10-1 11:18

非常感谢陆教授的慷慨解答
谢谢陆教授热心帮我解答了这一个小问题
书上的是错误的。我明白了。

gaddis · 发表于 2009-10-3 23:07

陆教授，这是陈纪修版本《数学分析》课后习题的答案。
但是这里是直接在加减式中代入了等价无穷小量。
这应该是不严谨的吧？
我试着用等价无穷小量加高阶无穷小量的办法代入，但是得不出答案。
另外，我看课后习题还有几题也是直接这样在加减式中代入了等价无穷小量的。
只是其他几题可以用等价无穷小量+高阶无穷小量的办法代入得到答案
所以想问问，难道真的可以直接简单的用等价无穷小量代入么？

gaddis · 发表于 2009-10-4 09:26

嘿嘿自己顶一下

luyuanhong · 发表于 2009-10-4 11:04

下面引用由gaddis在 2009/10/03 11:07pm 发表的内容：
陆教授，这是陈纪修版本《数学分析》课后习题的答案。
但是这里是直接在加减式中代入了等价无穷小量。
这应该是不严谨的吧？
我试着用等价无穷小量加高阶无穷小量的办法代入，但是得不出答案。
...

对于这道题目来说，不考虑高阶无穷小量，直接用 x 代入 e^x-1 得到的结果，
与考虑高阶无穷小量得到的结果，是一样的，但是，在有些题目中就不一样了：

gaddis · 发表于 2009-10-4 11:20

明白啦，是因为我不知道这个式子，所以无法写出正确的考虑高阶无穷小量的替代形式。
其他的题目我是因为能写出正确的考虑了高阶无穷小量的替代形式，所以能算出正确的答案。
结论就是，书本上的方法是错误的。
嗯，谢谢陆教授的解答，您真是一个乐心助人的好老师。
再次表达由衷的感谢！

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