【趣题征解】证明：若正整数n不是p-1的倍数，则 1^n+2^n+…+(p-1)^n 必能被素数p整除

luyuanhong

下面是我对此题的证明（欢迎大家给出其他的证明）：

dfminkwa

（1+2+3+4+...+p-1)^n,展开开得

wangyangkee

[这个贴子最后由wangyangkee在 2011/07/19 03:15pm 第 1 次编辑]

请教楼主陆老师：
    陆老师在11楼的解法，本人看不懂；请教陆老师，下面的思考或证明，是否靠得住，是否有纰漏？------
1.   1，2，3，…，(p-1)包罗了全部 p 的各个不同的同余类；
2.   p 的各个不同的同余类1，2，3，…，(p-1)之和能被p整除；
3.   全部的p 的各个不同的同余类1，2，3，…，(p-1)的各个的n的次方中，p 的各个不同的同余类不会增加，------n 是 p-1 的倍数除外------也不会消灭；仍然是全部 p 的各个不同的同余类；
4.   由此，论题得证。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/07/19 08:20pm 第 3 次编辑]

下面引用由wangyangkee在 2011/07/19 03:06pm 发表的内容：
请教楼主陆老师：
   陆老师在11楼的解法，本人看不懂；请教陆老师，下面的思考或证明，是否靠得住，是否有纰漏？------
1.   1，2，3，…，(p-1)包罗了全部 p 的各个不同的同余类；
2.   p 的各个不同的同余类1，2，3，…，(p-1)之和能被p整除；
3.   全部的p 的各个不同的同余类1，2，3，…，(p-1)的各个的n的次方中，p 的各个不同的同余类不会增加，------n 是 p-1 的倍数除外------也不会消灭；仍然是全部 p 的各个不同的同余类；
4.   由此，论题得证。

楼上想法中的第 3 条不成立。
例如 p=5 是一个素数，1，2，3，4 是 p=5 的 4 个余数，属于 4 个不同的同余类。
取 n=2 ，1^2=1 ，2^2=4 ，3^2=9 ，4^2=16 ，它们除以 5 的余数是 1，4，4，1 。
1，4，4，1 并不属于 4 个不同的同余类。

wangyangkee

谢谢陆老师！