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楼主: luyuanhong

【趣题征解】证明:若正整数n不是p-1的倍数,则 1^n+2^n+…+(p-1)^n 必能被素数p整除

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 楼主| 发表于 2009-10-9 15:23 | 显示全部楼层

【趣题征解】证明:若正整数n不是p-1的倍数,则 1^n+2^n+…+(p-1)^n 必能被素数p整除

下面是我对此题的证明(欢迎大家给出其他的证明):

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发表于 2010-6-19 15:30 | 显示全部楼层

【趣题征解】证明:若正整数n不是p-1的倍数,则 1^n+2^n+…+(p-1)^n 必能被素数p整除

(1+2+3+4+...+p-1)^n,展开开得
发表于 2011-7-19 15:06 | 显示全部楼层

【趣题征解】证明:若正整数n不是p-1的倍数,则 1^n+2^n+…+(p-1)^n 必能被素数p整除

[这个贴子最后由wangyangkee在 2011/07/19 03:15pm 第 1 次编辑]

请教楼主陆老师:
    陆老师在11楼的解法,本人看不懂;请教陆老师,下面的思考或证明,是否靠得住,是否有纰漏?------
1.   1,2,3,…,(p-1)包罗了全部 p 的各个不同的同余类;
2.   p 的各个不同的同余类1,2,3,…,(p-1)之和能被p整除;
3.   全部的p 的各个不同的同余类1,2,3,…,(p-1)的各个的n的次方中,p 的各个不同的同余类不会增加,------n 是 p-1 的倍数除外------也不会消灭;仍然是全部 p 的各个不同的同余类;
4.   由此,论题得证。
 楼主| 发表于 2011-7-19 16:59 | 显示全部楼层

【趣题征解】证明:若正整数n不是p-1的倍数,则 1^n+2^n+…+(p-1)^n 必能被素数p整除

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/07/19 08:20pm 第 3 次编辑]
下面引用由wangyangkee2011/07/19 03:06pm 发表的内容:
请教楼主陆老师:
   陆老师在11楼的解法,本人看不懂;请教陆老师,下面的思考或证明,是否靠得住,是否有纰漏?------
1.   1,2,3,…,(p-1)包罗了全部 p 的各个不同的同余类;
2.   p 的各个不同的同余类1,2,3,…,(p-1)之和能被p整除;
3.   全部的p 的各个不同的同余类1,2,3,…,(p-1)的各个的n的次方中,p 的各个不同的同余类不会增加,------n 是 p-1 的倍数除外------也不会消灭;仍然是全部 p 的各个不同的同余类;
4.   由此,论题得证。

楼上想法中的第 3 条不成立。
例如 p=5 是一个素数,1,2,3,4 是 p=5 的 4 个余数,属于 4 个不同的同余类。
取 n=2 ,1^2=1 ,2^2=4 ,3^2=9 ,4^2=16 ,它们除以 5 的余数是 1,4,4,1 。
1,4,4,1 并不属于 4 个不同的同余类。
发表于 2011-7-19 17:14 | 显示全部楼层

【趣题征解】证明:若正整数n不是p-1的倍数,则 1^n+2^n+…+(p-1)^n 必能被素数p整除

谢谢陆老师!
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