[原创] 0到1之间的实数的可数性的证明

李长白

[watermark] 摘要：文章中利用把0到1之间的区间进行连续分割，然后
                 按照大小的次序排列，从而证明了此区间内的无限不
循环小数是可数的。文中还在一个相反的证明中找出
了漏洞。
关键词：   实数      可数性    无限不循环小数
1、证明
证明：①把0到1之间的区间分割如下：
     0.0          0.1        0.2         0.3        0.4          0.5        0.6        0.7        0.8        0.9           1.0
0.00．…….      0.20  0.21  0.22  0.23  0.24  0.25  0.26  0.27  0.28  0.29
0.270  0.271  0.272  0.273  0.274  0.275  0.276  0.277  0.278  0.279
……
由于条件所限制，无法把分割的数字全部列出。上面只列出了三行，其中第二行以0.2为例，第三行以0.27为例。但是不难想象，把0到1之间的任意一个实数写出来以后，在上面所列出的数中必然能够找到它。因为它的第一位的数字肯定是0到9之间的一个，所以必然在上面第一行中找到；同理，它的第二位数字必然在第二行的相应的位置中找到。如此等等。比如：0.274…
②上面的所有的实数是10n个。它们显然是可数的。初看起来，它们似乎比正整数多。可是仔细地排列一下，就会发现它们乃是用10n表示的全体正整数。证明完毕。
康托证明了有理数集是可数集。其实，上面的数列可以被视为是有理真分数集的子集，即分母为10、100、1000、…，10n（n为正整数），…的所有分数的集合。可数集的子集应该仍然是可数集。
康托利用无穷序列定义实数的做法[1]中隐含着辩证法：有穷可以转化为无穷，可以利用无限的有穷数列表示无穷小数，包括表示超越数，如：e，π。康托的实数定义中包含的信息比他自己认为的还多。
康托利用对角线法证明了从0到1之间的实数是不可数的。如果他把其间的实数排列如上，恐怕会有不同的想法。
其实如果康托不把有理数按照一定的次序排列，恐怕会认为有理数也是不可数的。
2、一个证明中的漏洞
在一本书中[2]有一个不同意见。作者自认为，他用反证法证明了于连续统的不可数性。略述如下。
    假设在直线上从0到1的区间内的所有的点能够排成序列：
          a1,a2,a3,…              (1)
    然后，把a1点用长度为1/10的区间盖住，a2点用长度为1/102的区间盖住，……。如果从0到1之间的所有的点都包含在序列(1)中，则该单位区间将完全被长度为1/10,1/102,……的区间序列（可能互相有所重叠）完全盖住（其中有些区间超出了该单位区间，这一事实不影响证明）。但是这些区间的长度的总和为下列等比级数的和：
          1/10+1/102+……＝1/9
    他的结论是：从序列(1)包括从0到1之间的所有实数出发，推出的结果是可以用一系列总长度为1/9的区间覆盖长度为1的区间，显然很荒谬。这个矛盾证明了连续统的不可数性。
    在他的证明中，显然序列（1）中的点的尺度都是相同的，而且都等于0。这是允许的。但是他没有考虑到，当n趋进于无穷大的时候，这些点的尺寸可能比序列（2）（我们把1/10。1/102，…，1/10n，…称为序列（2））的尺寸大。我们分两种情况说明。
①假设     a1=a2=…=an…=1/n（n→∞）
则       ∣a1∣=∣a2∣=…=∣an∣…=0。
但是极限
         。
这个极限的运算很简单。因为它与极限 的结果是相同的。
从它的结果，容易理解当n大到无穷大的时候，序列（2）中的项会变小到盖不住序列（1）中的点。所以他们的假设是错误的。
②假设   a1=a2=…=an…=1/10n（n→∞）
如此，则序列（2）中的项能够盖住序列（1）中的项了。
但是。只要稍微仔细考察，就会发现序列（1）中的项数是10n个，而序列（2）中的项数是n项。所以后者的数目远远小于前者。于是后者还是不可能盖住前者。所以这个证明是有漏洞的。
值得注意的是他的证明中已经认为(1)中的点的测度是0，这和我的观点有一致之处。可是他没有考虑点可能有大小[3]。
在实际运算中，没有抽象的无穷，无穷总是具体的。而且无穷比我们目前所认识的还要复杂。      
注：1.王建午 曹之江 刘景麟 编《实数的构造理论》人民教育出版社1981年1月第1版52-53。
2.〈美〉R.柯朗 H.罗宾著I.斯图尔特修订《什么是数学》（增订版）左  平  张怡慈译  复旦大学出版社2005年5月第2版96-97。
3.建议参考拙作①《运用唯物辩证法于数学基础的一个范例》《辽宁大学学报》（自然科学版）2000年第4期304-308②《关于可导函数图象的点的大小的思考》  《辽宁经济技术职业学院学报》2003年第1期55-56  ③《求导数的运算的结果应该是特定的0/0（综述）》《数学∙力学∙物理学∙高新技术研究进展──2004（10）卷》焦善庆主编    西南交通大学出版社2004年7月第1版87-90。