求多变量的单调函数的复合函数的单调性

jiaowazi

当知道函数f(x)是单调的，g(x)也是单调的，其中，x是一个向量，那么
f(g(x))还是单调的吗？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/11/03 03:49pm 第 1 次编辑]

请问：多变量函数的单调性是怎么定义的？

jiaowazi

是这样定义的，如果x1和x2是同维数向量，f（x）也是等维数的向量，那么如果
(x1-x2)^T*(f(x1)-f(x2))>=0，则称f（x）是单调的

elimqiu

虽然称这种性质为单调有点奇怪，但就以此为是的话，原问题的答案是否定的：
定义 f = g 为 R^2 上的线性变换 f(x,y) = (1/2)(x - y√3, x√3 + y),
则 x,y 不全为0时
(x,y)·(f。f)(x,y) = (x,y)·f(f(x,y)) = -(x^2+y^2)/2 < 0

jiaowazi

虽然您在说明小于零时的式子跟我给定的定义不同，但是我按照您的例子又算了一遍单调性，确实不是单调的。但是如果是这样的两个单调函数来判断它们复合后的单调问题，又该如何算呢，涉及到矩阵运算，我有点蒙。具体可见附件。

luckylucky

不一定。我可以给你举个反例。比如x的向量就两维x0,x1。只要保持其中一维x0关于f函数是定常量，而另一维x1关于f是单调的，该函数对于该向量也是单调的。g函数则反过来，x0是单调的，x1是定常数。此时g函数对于改向量也是单调的。但他们的复合就不是。问题出在，对于单调的定义是用空间距离来描述的。空间距离d是对应 ((x0-x';)^2 + (x1-x';';)^2)1/2，并没有分别对x0,x1进行要求。

jiaowazi

按您这样定义的函数复合后也是单调的，因为按照我给定的定义两个不同的向量之差与其对应的向量函数之差的内积仍然是大于等于零的，所以还是单调的。所以我觉得有点蒙的。对了，您可以看下附件，原问题是这样的，见附件。

elimqiu

把 (x,y) 用 (x1,y1)-(x2,y2) 代入到我的式子里， 由于函数的线性，就得到你要的形式。可见两者在内函数是线性的情况下是等价的。
线性映射的复合对应于矩阵的相乘。搞出矩阵的特征向量就解决了判断问题。

elimqiu

下面引用由jiaowazi在 2009/11/04 07:59pm 发表的内容：
虽然您在说明小于零时的式子跟我给定的定义不同，但是我按照您的例子又算了一遍单调性，确实不是单调的。但是如果是这样的两个单调函数来判断它们复合后的单调问题，又该如何算呢，涉及到矩阵运算，我有点蒙。具 ...

(x,y)·f(x,y) = (1/2)(x,y)·(x - y√3, x√3 + y) = (1/2)(x^2+y^2) > 0
所以我前面的反例中的函数就是‘单调’的。

jiaowazi

如果y是个投影算子呢？其中x是向量，y是x的投影算子，且是向量，是y的函数，且是向量，姑且我们这样认为，是对于y单调的，而且知道投影算子也可以看成是单调的，那么对于x的单调性又如何？具体可见楼上的附件中详细介绍。