[闲谈] 任意连续n个正整数之和除以n

尚九天

    任意连续n个正整数 a1,a2,a3,…,an 之和除以n ：
                        如果 n 是奇数，则结果必为整数；
                        如果 n 是偶数，则结果不为整数.
并且，它们相除的结果(商)，无论n为奇偶，皆可以下式表之：
                   a1 + a2 + a3 + … + an      n + 1
                  ------------------------- = ------- + (a1-1)
                              n                  2              .
    例如，n=5 ，任意连续五个整数：
               3 + 4 + 5 + 6 + 7     (5 + 1)
              -------------------- = -------- + (3 - 1) = 3 + 2 = 5
                       5                2                            .
    再如，n=6 ，任意连续六个整数：
           3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8    (6 + 1)
          ----------------------- = -------- + (3 - 1) = 3.5 + 2 = 5.5
                     6                 2                                .
屡算不爽.
    定理寻常不须证，不谓寻常但证之！
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    廉颇老矣尚能饭，九天老矣净出错，敬请高手：不吝赐教！
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    以上，是在 [趣题征解] 一帖的启发下得到滴，特向该帖楼主 陆老师 致以深深地谢意！

zhaolu48

因为下面公式楼主变换的正确无误，
                  a1 + a2 + a3 + … + an      n + 1
                 ------------------------- = ------- + (a1-1)
                             n                  2              .
这已经是证明了，
当然“屡算不爽”。

尚九天

    幸好这次无错，
    多谢先生夸奖！

    原来给个破式子就是证明，
                           ---- 那太简单了！
          ........................................................
  
    当整数 N>1000 时，不大于 N 的 孪生素数对、差为4的素数对，皆至少有：
                               √N/2
对，屡验不爽.
    而 差为6的素数对 的对数，接近 孪生素数对 的对数 的2倍，即：
                       差6对数 : 孪生对数 ≈ 2:1 ，
同样 屡验不爽.
               ---- 这也算“证明”吗？

尚九天

    如果是 任意连续n个奇数之和，
    或者是 任意连续n个偶数之和，
                                ---- 会怎样呢？

zhaolu48

“如果是 任意连续n个奇数之和，
   或者是 任意连续n个偶数之和，
                               ---- 会怎样呢？”
除以n必为整数。
这是因为：
                 a1 + a2 + a3 + … + an      
                ------------------------- = (n+1) + (a1-1)
                            n                                .

尚九天

谢谢指教！