[求助]在有限区间上f（x）无界，其导函数f‘（x）一定无界吗？

gaojingang

在有限区间上f（x）无界，其导函数f‘（x）一定无界吗？

FARSPACEMAN

如果在此有限区间内的每一点可导（在闭区间的左端点右可导，在右端点左可导），若导数有界，则f一致连续，所以f有界。

elimqiu

下面引用由gaojingang在 2009/11/25 00:26pm 发表的内容：
在有限区间上f（x）无界，其导函数f‘（x）一定无界吗？

不妨设f无上界，于是有{Xn}在有限区间内，满足 f(Xn) + 1 < f(X(n+1)), {Xn} 有收敛子列 { Yn} 于是对 m < n 有 |f(Yn)-f(Ym)|/|Yn-Ym| ≥ 1/|Yn-Ym| →∞ (m→∞)
另一方面，中值定理告诉我们在 Yn,Ym 之间有某 Z(m,n) 使得
f';(Z(m,n)) = (f(Yn)-f(Ym))/(Yn-Ym). 可见 {f';(Z(m,n))} 是一个无界集合。故 f'; 无界。

elimqiu

补充上贴，如果函数 f 在有限区间内连接，它又是无界的，那么这个有限区间必不是闭区间。

gaojingang

请点击这里