[结贴][elimqiu正解]一个极限证明题

tobeme0

晕死,网速太慢,图没帖上.(按这个网速上网会出人命的啊!!!)
以下是对反例构作思路的详细一些的叙述,以供跟我一类基础不好的人参考.

就此结贴,再次感谢楼上的各位大虾.

zhaolu48

elimqiu 说：在区间[k-1/k,k] 上， 大致说来反例中的 sin 可以用其他奇周期函数的一个周期取代。
其实只要是连续的周期函数就可以，但必须强调是连续的。用偶函数cos也可以。
tg是奇周期函数，但却不可以。
如以8为周期的函数f(x),当x∈(8k-1,8k+1]时，f(x)=0;当x∈(8k+1,8k+3]时，f(x)=1;x∈(8k+3,8k+5]时，f(x)=0;x∈(8k+1,8k+3]时，f(x)=-1。易知，f(x)是以8为周期的奇周期函数，因为在定义域上不连续，因此也不可以。
因我们只在正半轴上取分点，因此与函数的奇偶性无关。

不过elimqiu修改后的证明基本无误，表示祝贺！

elimqiu

下面引用由zhaolu48在 2009/12/07 08:45am 发表的内容：
elimqiu 说：在区间上， 大致说来反例中的 sin 可以用其他奇周期函数的一个周期取代。
其实只要是连续的周期函数就可以，但必须强调是连续的。用偶函数cos也可以。
tg是奇周期函数，但却不可以。
如以8为周期的　...

在我的构造中，连续性其实是充要条件。不过如此证明会繁些。如果取端值为0的奇周期函数的一个周期，问题就被简化了。‘大致说来’就是在谈使得原思路成立的基本条件。 那些明显的条件就不说了。
反例没有什么唯一性。说明问题即可。
话说得太快太绝不妥。这严重影响你的数学境界。你对康托的见解就很说明这点。

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2009/12/08 07:42pm 第 2 次编辑]

>话说得太快太绝不妥。这严重影响你的数学境界。你对康托的见解就很说明这点。
elimqiu 先生：
就有关康托理论一事，先提一个问题，请你做出肯定或否定的回答。
提的一个问题是：
如何证明一个无限集与自然数集N存在一一映射？
有一个方法，就是排列出一些有代表性的元素，从其中能推论集合的任意元素必然会在这个排列的某个位置上出现，当然这个元素是“有限形式”的。
比如说自然数中关于5同余3的自然数：表示如下
{3，8，13，18，23，……}
就可说明它与自然数集存在一一映射，
再比如平面上的整点（即坐标是整数的点）做如下排列
第一行原点：
(0,0),编号为1
第二行，绕原点的第一圈的8个点，从右下角按逆时针方向依次写出如下：
(1,-1),(1,0),(1,1),(0,1),(-1,1),(-1,0),(-1,-1,),(0,-1)
编号依次为2，3，4，5，6，7，8，9。
第三行，绕原点的第二圈的16个点，从右下角按逆时针方向依次写出如下：
(2,-2),(2,-1),(2,0),…,(0,-2),(1,-2)
编号依次为10，11，12，…，24，25
…… …… …… …… …… ……
第n+1行，绕原点的第n圈的(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n个点，从右下角按逆时针方向依次写出如下：
(n,-n),(n,-n+1),(n,-n+2),…,(n-2,-n),(n-1,-n)。
编号依次为(2n-1)^2+1,(2n-1)^+2,(2n-1)^2+3,…,(2n+1)^2-1,(2n+1)^2。
……　……　……　……　……　……　……　……　……　……　……
……　……　……　……　……　……　……　……　……　……　……
……　……　……　……　……　……　……　……　……　……　……
比如第n+1行就是每个点的坐标至少存在一个坐标分量绝对值是n，且没有绝对值大于n的分量。即元素是“有限形式”的。且可以得到，坐标分量师大绝对值不大于n的全部点才会在前n+1行内出现。从而可推论得，任意整点，都会在这个排列的某个位置上出现，也就是说这是一个对“所有”整点的一个“不重不漏”的排列。
这是否说明了平面上的整点可数呢？
如果任意一个集合，也可以得到一个“不重不漏”的排列，是否可以说这个集合是可数的呢？

elimqiu

是这样。zhaolu48先生。
如果 f: E → N 是一个一一映射（不重不漏），
那么 f 的逆映射 g:N → E 就确定了 E 的元素的一个排列方式。
如果 zhaolu48先生 要继续这方面的讨论，请另开一个话题。这论坛文不对题的帖子太多， 我们这里又添了几贴。应该避免，以方便网友。