[趣题征解]发牌游戏

ccmmjj

如果一台发牌机，按一定的规则发牌。如果顺序为1，2，3，...，n的牌，发出后为a1，a2，a3，...，an的顺序。请问：怎么样顺序的牌，发出顺序为1，2，3，...，n的牌。
更一般的，如果顺序为a1，a2，a3，...，an的牌，发出顺序为b1，b2，b3，...，bn的牌。请问：怎么样顺序的牌，发出顺序为1，2，3，...，n的牌。
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又到了周末，出一题让同志们想一想。从这一题可以测一测诸位在抽象代数上的能力。狐狸兄在哪里？可以写一篇有关的小品。

wanwna

呵呵,我什么时候有空写篇关于置换的帖子.

ccmmjj

敬待高作。

ccmmjj

狐狸兄如果食言，在下可要代庖了。

wangyangkee

哈，ccmmjj，不简单；是个数学政治家，是个政治数学家，，，
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=18355&show=0

王守恩

如果一共有 13 张牌，26 张牌，...,52 张牌，54 张牌。我可以凑合算算看，多了不行。

ccmmjj

最近选情紧绷，今天才得闲。为了简单易懂起见，我用n=5作为例子说明这个代数思想吧。
假设发牌机将顺序（１２３４５）发出为（23154），我们把它记为一个置换  δ（12345）=（23154）。
而我们要做的是要找出一个逆置换δ^(-1),这样就会使　δ*δ^(-1)=i　恒等置换。而δ*δ^(-1)（12345）=(12345)。
于是我们就可以计算　δ^(-1)（12345）得到我们需要的牌序。为了更清楚的说明，需要用以下图片；

通过这个方法我们可以看到，我们并不需要这个机器的发牌规则，要的只是发自结果。通过这个结果，我们就可以找到原排序。当然这是一个可以用到任何n张牌的代数分析方法，是可以机械化的过程。这个问题最早我是15年前在一张电脑报上看到的征解题（当然它有规定和王守恩那边相同的发牌规则）。当时我提出了两种解决方法，经过一起的电脑老师分析，认为另一种方法会使电脑的计算量增大，就不要了。10年前我发此帖，原是希望那位在大学教授抽象代数的网友“恶心的狐狸”跟贴解答，毕竟他是专业代数老师，写得会清楚一点，可惜他只回一贴，就悄无声息，一落下就是十年，可叹可叹，人生苦短，又有几个十年！

luyuanhong

楼上 ccmmjj 的想法是对的。但是，按照这样的想法来解实际问题，例如帖子：

《一叠牌，每次取出一张，再将一张移到底部，取出编号为 1,2,…,2018，求原来的编号次序》

中的问题，就需要列出一个长长的有 2018 个数的括号式，如果不靠电脑，手工做起来还是很麻烦的。

ccmmjj

我的解题思路的一个最大特点是不需要发牌的规则，只需要一个结果，原本就是对电脑报的征解题做解答，所以就不考虑n是大数的状况。其实对于n是大数的状况，对于规则简单的发牌是容易处理的，但对规则复杂的情况，还是追寻一般方法比较好。