空间立体的一般方程是什么样子的？

fm1134

我们知道，空间曲面的一般方程为F(x,y,z)=0。那么空间立体的一般方程是怎样的呢？

luyuanhong

在 2 维平面中，一条曲线的方程，可以表示为 F(x,y)＝0 的形式。
在 3 维空间中，一个曲面的方程，可以表示为 F(x,y,z)＝0 的形式。
在 4 维空间中，一个 3 维体的方程，可以表示为 F(x,y,z,u)＝0 的形式。
………
在 n 维空间中，一个 n-1 维体的方程，可以表示为 F(X1,X2,…,Xn)＝0 的形式。

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2009/12/12 08:47pm 第 1 次编辑] 用F(x,y,z)=0表示曲面不太好， 可以说，曲面方程都这种形式，但F(x,y,z)=0并不总表示曲面。 如x^3+y^2+z^2+5=0,没有图形与它对应。 因此在《微分几何》中总是用参数方程表示曲面。即 x=f(u,v) y=g(u,v) z=h(u,v) u,v是参数。 在n维欧氏空间中，《微分几何》常把楼主所说的“空间立体”称为整体流形。 在《拓朴学》学中，把方程 x(1)=a(1,1)t(1)+a(2,1)t(2)+…+a(m,1)t(m) x(2)=a(1,2)t(1)+a(2,2)t(2)+…+a(m,2)t(m) …… …… …… …… …… …… …… …… x(n)=a(1,n)t(1)+a(2,2)t(2)+…+a(m,n)t(m) 0

fm1134

曲线、曲面的方程倒好理解，可“在 4 维空间中，一个 3 维体的方程，可以表示为 F(x,y,z,u)＝0 的形式”似乎很难想象。比如：球体的方程为x^2+y^2+z^2

zhaolu48

>曲线、曲面的方程倒好理解，可“在 4 维空间中，一个 3 维体的方程，可以表示为 >F(x,y,z,u)＝0 的形式”似乎很难想象。比如：球体的方程为x^2+y^2+z^2该如何表示为F(x,y,z,u)＝0 的形式呢？ 不等式x^2+y^2+z^2

luyuanhong

下面引用由fm1134在 2009/12/12 10:00pm 发表的内容： 曲线、曲面的方程倒好理解，可“在 4 维空间中，一个 3 维体的方程，可以表示为 F(x,y,z,u)＝0 的形式”似乎很难想象。比如：球体的方程为x^2+y^2+z^2

下面看一个例子：

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2009/12/15 08:45am 第 8 次编辑]

luyuanhong

楼上赵禄先生推导出来的 n 维球体的表面积和体积公式都很正确！
其实，如果利用 Gamma（伽马）函数 Γ(x) ，这两个公式还可以进一步表示成下列非常简单的形式：

luyuanhong

下面是对 n 维球体积公式和表面积公式的证明：