[原创]加法合成方法数目函数

白新岭

20楼给了17楼第二题答案。在20楼t前系数a列的数据与第一题有密切关系。最小值为30-2*8=14，这里的30为总分类数，数字8是不能被2，3，5整除的30内的素数类，即代表1，7，11，13，17，19，23，29这八类元素（余数），这样的系数有15类余数，即30内所有奇数。其余偶数的系数a需要在14的基础上加上对应的第一题的系数A。
这里说明一个问题，素数类的合成与合数类的合成是一个问题的两个方面，不是孤立问题。是正元与逆元，是全集I中集合A与补集B两种不同性质元素的反映。

白新岭

余数→一周方法→二周方法→t前系数a→常数c
2→→→→1→→→→2→→→→3→→→→1
4→→→→0→→→→3→→→→3→→→→0
6→→→→0→→→→6→→→→6→→→→0
8→→→→2→→→→1→→→→3→→→→2
10→→→→0→→→→4→→→→4→→→→0
12→→→→2→→→→4→→→→6→→→→2
14→→→→3→→→→0→→→→3→→→→3
16→→→→0→→→→3→→→→3→→→→0
18→→→→4→→→→2→→→→6→→→→4
20→→→→4→→→→0→→→→4→→→→4
22→→→→1→→→→2→→→→3→→→→1
24→→→→6→→→→0→→→→6→→→→6
26→→→→3→→→→0→→→→3→→→→3
28→→→→2→→→→1→→→→3→→→→2
30→→→→8→→→→0→→→→8→→→→8
这是17楼第一题的答案，当N为奇数时无解，t=INT((N-1)/30)。这里t前系数a加上14与20楼i对应的系数a相同，这点很重要。

白新岭

解答x+y+z+u=N在限制条件下的正整数解的组数，限制条件为：x,y,z,u不含因子2，3，5.
第一种答案：套用公式→→Z(N)=调节系数*N内符合条件的元素个数^4/N/(4-1)!,
这里的调节系数=分类周期（即条件）*合成方法/总合成方法，N内符合条件的元素个数=N*(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)，最后除的（4-1）！=3!=6.
合成方法=P^3-4P^2+6P-4（当N不能被P整除时，即P不是N的因子时）
合成方法=P^3-4P^2+6P-3（当N能被P整除时，即P是N的因子时）
总合成方法=(P-1)^4
单调节系数=单条件下的分类周期*合成方法/单条件的总合成方法
综合调节系数=所有单调节系数的积。

白新岭

MOD(N,30)→1周方法数→2周方法数→3周方法数→4周方法数
2→→→→0→→→→80→→→→144→→→→31
4→→→→1→→→→44→→→→170→→→→40
6→→→→0→→→→60→→→→240→→→→6
8→→→→0→→→→124→→→→111→→→→20
10→→→→4→→→→60→→→→180→→→→16
12→→→→0→→→→120→→→→186→→→→0
14→→→→4→→→→161→→→→80→→→→10
16→→→→10→→→→80→→→→161→→→→4
18→→→→0→→→→186→→→→120→→→→0
20→→→→16→→→→180→→→→60→→→→4
22→→→→20→→→→111→→→→124→→→→0
24→→→→6→→→→240→→→→60→→→→0
26→→→→40→→→→170→→→→44→→→→1
28→→→→31→→→→144→→→→80→→→→0
0→→→→24→→→→264→→→→24→→→→0

白新岭

根据24楼合成方法在各周的分布，可以得到at^3+bt^2+ct+d形式的精确公式，t=int((n-1)/30),a,b,c,d有下面的数据确定。
MOD(N,30)→t^3前系数a→t^2前系数b→t前系数c→常数d
2→→→→255→→→→147→→→→78→→→→0
4→→→→255→→→→18→→→→9→→→→6
6→→→→306→→→→162→→→→-108→→→→0
8→→→→255→→→→312→→→→177→→→→0
10→→→→260→→→→156→→→→16→→→→24
12→→→→306→→→→360→→→→54→→→→0
14→→→→255→→→→477→→→→306→→→→24
16→→→→255→→→→288→→→→117→→→→60
18→→→→306→→→→558→→→→252→→→→0
20→→→→260→→→→624→→→→484→→→→96
22→→→→255→→→→453→→→→318→→→→120
24→→→→306→→→→756→→→→486→→→→36
26→→→→255→→→→747→→→→738→→→→240
28→→→→255→→→→618→→→→549→→→→186
0→→→→312→→→→936→→→→768→→→→144