求助：勾股定理的证明方法

luyuanhong

下面再介绍两种历史上比较有名的勾股定理证明方法：

changbaoyu

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勾股定理：Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾２．（代数证法）．                  （Ａ）．
证：不难看出：Ｘ＋Ｙ－Ｚ＞０，Ｚ＞Ｘ，Ｚ＞Ｙ，且Ｘ≠Ｙ．因而可设不等式的差值数∶Ｒ，δ，ｒ为其“三元数”，即有：
     Ｘ＋Ｙ－Ｚ＝Ｒ，Ｚ－Ｘ＝δ，Ｚ－Ｙ＝ｒ．                      ⑴．     
可得到：Ｘ＋Ｙ＝Ｚ＋Ｒ，  Ｚ＝Ｘ＋δ＝Ｙ＋ｒ．                     ⑵．
⑵由代入法可逐步得出：Ｘ＝ｒ＋Ｒ，Ｙ＝δ＋Ｒ＝＝＞Ｚ＝Ｒ＋δ＋ｒ．  ⑶．     
即：Ｘ＝Ｒ＋ｒ，Ｙ＝Ｒ＋δ，Ｚ＝Ｒ＋δ＋ｒ（勾股三元数公式）．      ⑷．
由⑷和Ａ得到：
（Ｒ＋ｒ）＾２＋（Ｒ＋δ）＾２＝（Ｒ＋δ＋ｒ）＾２．               ⑸．
由平方和公式把⑸式展开后消去同类项，即可得到等式：
                  Ｒ＾２＝２δｒ．                                 ⑹．
显然：２｜Ｒ＾２，得到２｜Ｒ，且知Ｒ是大于零的偶数，而又知：任何一个大于零的偶数都可以表示成２与两个因素乘积的关系．所以⑹式成立（不难得出勾股三元数）且与⑸等价，故Ａ成立得证．
注意：
顺便指出⑹【黄金等式】是勾股公式的母式。母式：即能产生各种单域的恒等三元勾股公式。就是说得到的公式代入Ａ展开后且为恒等，而原Ａ式是【非恒等式】．
2010/01/２３玉新示．