【求助】： 空间两条圆弧曲线线段，最小距离怎样计算

lizh714285

背景： 石油钻探行业，定向井轨迹设计避障与防碰验证问题（即，新井设计轨迹验证与先期环境的障碍约束问题）
数学模型： 井的钻进轨迹设计，可抽象成若干段空间圆弧曲线，各种障碍也可以抽象成分段的空间圆弧曲线。为防止施工中发生意外，新轨迹要避免与障碍约束轨迹相交。在工程上要设定“保险距离”譬如5米，于是问题成为验证设计轨迹的任何一点，与障碍点集之间的距离不小于5米。
两段空间圆弧曲线(有向曲线)，在某个正交坐标系下，分别已知：
  开始点的三坐标，结束点的三坐标，圆心三坐标。
可简单获得的数据： （两曲线）开始点的切线单位矢量（用i,j,k三分量表示）；
                          开始点的法线单位矢量（开始点指向圆心的方向）；
                          开始点副法线单位矢量（法线、副法线、切线按此顺序构成右手系
                                  正交坐标系；  副法线指向圆弧所在平面的垂直方向）
                          结束点的切线、法线、副法线三矢量；
                          两圆弧的半径R1和R2
                          两圆弧的圆心角ω1和ω2
我尝试的思路： 分别建立两圆弧的参数方程（以轨迹动点的圆心角为参数）；
              以两个动点依照距离公式（勾股定理的使用），构成二元函数
              求偏导并分别令为0
              但两个偏导函数都是关于三角函数的表达式，难于解出偏导为0的值。
求教高手，还有什么更好的思路
                          
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立交桥设计避障验证（立交桥设计轨迹也有先期约束，）

lizh714285

求教陆老师啦[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 lizh714285 在 时添加 -=-=-=-=-
看到陆老师在线，并正在浏览这个问题[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 lizh714285 在 时添加 -=-=-=-=-
赵老师也在呀，求教各位了

zhaolu48

樊映川著的《高等数学》有一本对应的习题集，这个习题集上就有楼主所说的这样一个习题。方法是用最小二乘法。我只是34年前做过，现在早已忘记了怎么做了。
还是请陆老师给作吧！

lizh714285

给个思路就行，先谢谢赵老师了[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 lizh714285 在 时添加 -=-=-=-=-
最小二乘法？ 能更具体一点吗？

luyuanhong

这问题看来没有什么简单的解法。
我想比较有效的办法，是编一个计算机程序，用逐步搜索的方法找出两个圆弧之间的最近距离。
具体来说，就是：在第一个圆弧上取一点 A ，在第二个圆弧上取一点 B ，用一个二重循环，
以一个很小的步长，让 A 点在第一个圆弧上逐步移动，让 B 点在第二个圆弧上逐步移动，
在循环的每一步，都计算一下 AB 的距离，通过比较，求出距离 AB 的最小值。

lizh714285

多谢陆教授。
现行办法也是如此。我是想请教一下数学界各位，有无解析办法。
因为现行办法步长小了计算量就很大，步长大了可靠性就差了。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 lizh714285 在 时添加 -=-=-=-=-
在微分几何领域，怎样看待这个问题呢

zhaolu48

如果是两段圆弧，是否可以这样作：
分别求出两段圆弧的圆心，那么连心线与两弧的交点A，B，则AB就是这两段弧的最小距离。

luyuanhong

下面引用由zhaolu48在 2010/07/02 04:16pm 发表的内容：
如果是两段圆弧，是否可以这样作：
分别求出两段圆弧的圆心，那么连心线与两弧的交点A，B，则AB就是这两段弧的最小距离。

如果两段圆弧在同一个平面上，可以考虑这样做。
但是楼主的问题是要求在三维空间中的两段圆弧之间的最近距离，
这两段圆弧并不一定在同一个平面上。

lizh714285

[这个贴子最后由lizh714285在 2010/07/02 10:18pm 第 6 次编辑]


是的，这是三维的空间圆弧，两弧一般不在同一平面。
其实，圆弧外的空间一点，与这圆弧的最近距离是较为简单的，
1） 在圆弧所在平面考虑
2） 外点到平面的垂直距离是确定的，也是可简单计算的
3） 根据勾股定理，外点到平面上任一点的距离的平方，等于外点到平面垂直距离的平方加上外点在平面的投影点到目标点距离的平方，所以外点到平面上各个点的距离远近，同序于投影点到各点的距离远近。
（“同序”是自定义的一个概念，即按距离排序时顺序相同）
4）平面上一点与圆弧的距离的极值点： 过该点和圆心连线，如与圆弧有交点（包括延长线），该交点为极值点（或极大或极小），如不相交，则圆弧两个端点有可能是极值点。这可以解析证明（用解析几何方法，以圆心为原点，求导，令为0， 或用纯几何方式，利用“两点之间直线最短”公理）