由 1,2,3,4,5,6,7 组成的七位数，四个奇数中任何三个不全相邻，这样的七位数有几个？

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排列問題

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题  由 1,2,3,4,5,6,7 组成的七位数，四个奇数中任何三个不全相邻，这样的七位数有几个？

解  首先，1,2,3,4,5,6,7 组成的七位数，是七个数的全排列，共有 7! 种。

    四个奇数中任何三个不全相邻，相反的情形是：四个奇数中至少有三个全相邻，又可分为

下列两种情形：

（1）四个奇数全相邻。

   这时，先将三个偶数作排列，有 3! 种排法。在三个偶数的缝隙和两端，共有四个位置，在

其中选一个位置插入相邻的四个奇数，有 4 种选择。四个奇数内部可任意排列，有 4! 种排法。

（2）三个奇数全相邻，一个奇数不相邻。

   这时，先将三个偶数作排列，有 3! 种排法。在三个偶数的缝隙和两端，共有四个位置，在

其中选一个位置插入相邻的三个奇数，有 4 种选择，再在剩下的三个位置中，选一个位置插入

另一个奇数，有 3 种选择。四个奇数内部可任意排列，有 4! 种排法。

   综合以上分析，可知四个奇数中至少有三个全相邻的七位数共有

   3!×4×4! + 3!×4×3×4! = 3!×(4+4×3)×4! = 6×16×24 = 2304 个。

   四个奇数中任何三个不全相邻的七位数有

   7! - 2304 = 5040 - 2304 = 2736 个。