辩证数 及其应用

jzkyllcjl

1 辩证数的提出
1962 年笔者提出了：自由落体按照速度v=2g下落的时段长是不是零呢？的问题。这个问题是涉及到第二次数学危机的问题。对于这个问题如果回答说：“是零”，显然是不对的，因为：零的意义是无；“是零”的回答意味着物体没有按瞬时速度运动，这个回答显然是不对的：如果回答说“不是零”，那么是多少呢？， 就成为现行实数理论无法解决的问题。有人又回答说“它既是零又不是零”，但这种“既是零又不是零”是一个形式逻辑上不能允许的有矛盾的回答。为此，笔者1962年曾经想过“需要有一种大于零而又小于一切正实数的实无穷小数去解决”，但参加《非标准分析》 学习之后，笔者不仅发现“这种实无穷小数与实数集合中存在可以与零无限接近的实数的理论矛盾”；而且《非标准分析》提出这种数时，使用了有争论的选择公理。所以必须放弃这种实无穷小数，即放弃《非标准分析》。放弃《非标准分析》之后，又对马克思《数学手稿》反复多次学习，才根据唯物辩证法，笔者提出了如下的辩证数定义。
定义1：自变数x的微分dx是以0+为极限满足误差界要求的正足够小变数的辩证数。
2瞬时速度与导数的计算
计算S=1/2gt^2在t=2的瞬时速度时，使用辩证数dt，由于dt 不等于0，它可以作除数，所以，得到ds/dt=2g+1/2gdt  ，对此式右端的辩证数dt，由于它是足够小，将它忽略不计得到 包含t=2的足够小时段上物体下落速度的足够准数值为2g 。 这个计算过程中，虽然右端使用了扬弃差值dt的做法，但这个做法的地实质是：理想的没有长度的时刻可以使用测不准的足够小替换：即用数字描述现实数量的理想时刻大小时，理想时刻可以是忽略不计的足够小； 所以上述瞬时速度的计算是一个足够准近似计算。 将上述计算推广到任意时刻t，就得到任意时刻t，物体的下落速度是ds/dt=gt。这样一来，第二次数学危机就被唯物辩证法解决了。我们还可以提出“即时速度与瞬时速度”两种对立统一的相互依赖、相互斗争的概念：即时速度表示一个没有长度的时刻上的速度，瞬时速度表示一个足够小时段上的速度，即时速度与瞬时速度之差是可以忽略的足够小。瞬时速度的概念问题是微积分学产生之后，从牛顿。贝克莱、莱布尼茨、洛必达、柯西、维尔斯特拉斯、到A. 鲁宾逊几百年来的没有解决的问题，现在笔者认为：必须使用辩证唯物主义下既可以取极限又需要知道极限具有不可达到性质的“零与非零足够小”之间可以相互替换的对立统一、分工合作法则解决。笔者的这个方法含有足够准近似方法。
瞬时速度问题也是在两千多年前就有芝诺的飞矢不动的悖论问题，虽然芝诺可以说在没有长度的时刻上，飞矢是不动的，但在任何有长度的瞬时上飞矢总是飞着的而不是不动的。根据“时段不是没有长度理想时刻构成而只能由有长度现实的足够短时刻构成”的事实，芝诺飞矢不动的说法是违背事实的不能成立的悖论。
将瞬时的的讨论推广到一般的导数计算，自变量的微分dx是辩证数，它不是0而是足够小正数，dx→0但dx不等于0，因此它可以作除数；对dy/dx计算出来的商式中的足够小dx是可以被扬弃的（即可以忽略不计变为0，或者趋向于0），得到理想导函数f’(x)。根据极限值是数列达不到的趋向性质，我们可以说：求导计算只是一种忽略足够小的近似计算。对于现行教科书中的Δx→0的极限方法，需要知道：Δx→0但Δx不能到达0，取极限的做法是一个计算不定式0/0 的做法，极限做法适用于各种不同误差界的足够小，根据极限值是变数达不到的理想数值的事实，,应当把导数写作 dy/dx= f’(x)。

wangyangke

在曹俊云所说的曹俊云所谓的“改革”“依赖真理”“会成功”的前提下，曹俊云半途而废，就是曹俊云愚蠢！曹俊云就是二百五！