对素数定理最新的初等推导

maguolianga

对素数定理最新的初等推导
山东章丘 马国梁

对“素数分布规律”的研究和证明之所以成为一个百年难题，其主要原因就是人们在研究方向上发生了偏差。大家一心关注怎样利用高等函数，而没有将初等函数的潜力挖掘到极限。笔者经过多年锲而不舍的努力，终于有幸窥探到初等公式的深层奥秘，得到了对素数定理最简单的初等推导。这真是“苦海无边，回头是岸”啊！
我们知道：根据“埃氏筛法”，在x之内，素数个数的计算公式是
i = [1/2] [2/3] [4/5] …… [1 – 1 / Pr] x       其中 Pr < sqrt(Pi)
因为在 Pi ~ x 之间很可能有个合数必须用Pr+1 筛掉，所以在公式最后还必须乘上一项 [1 – 1 /sqrt(x)] 。这样公式就变成了
i = [1/2] [2/3] [4/5] …… [1 – 1 / Pr] [1 – 1 /sqrt(x)] x
= [1/2] [2/3] [4/5] …… [1 – 1 / Pr] [x – sqrt(x)]
将两边微分得
di = [1/2] [2/3] [4/5] …… [1 – 1 / Pr] [1 – 0.5 /sqrt(x)] dx

只要令 di = 1 那么我们即得到素数的间隔了：

ΔPi = Pi+1 - Pi= dx = [2/1] [3/2] [5/4] …… [ Pr /(Pr – 1) ] / [1 – 0.5 /sqrt(x)]

     因为我们可作这样的变换，当 Pr >>1 时

     Pr/(Pr – 1) = e ^ – ln(1 – 1 / Pr) = e ^ (1/ Pr)

所以 ΔPi = C e ^ [(1/2)+(1/3) +(1/5)+ ……+(1/ Pr)] / [1 – 0.5 /sqrt(x)]
= C e ^ [ &#643; (1/ P) (dP/ΔP )] / [1 – 0.5 /sqrt(x)]
                   C是修正系数，其大小因公式而异。
我们用试探法求解。假设ΔP = ln P ，则

      ΔPi = C e ^ [lnln Pr]/ [1 – 0.5 /sqrt(x)]

          = C ln Pr/ [1 – 0.5 /sqrt(Pi)]

          = 0.5 C ln Pi/ [1 – 0.5 /sqrt(Pi)]

我们将各素数及其间隔代入，可求得平均值 C = 2

这样素数间隔  ΔPi = ln Pi /[1 – 0.5 /sqrt(Pi)] ≈ ln Pi

可见我们前面的假设是正确的，并由此得到了更为精确的素数定理公式。
由此我们可得精确的累加型递推公式为

Pi+1 = Pi +ΔPi = Pi + ln Pi /[ 1 – 0.5/sqrt(Pi)]

= Pi + [3/2] [5/4] …… [ Pi /(Pi – 1) ] / [1 – 0.5 /sqrt(Pi)]

   = Pi + П [ Pi/(Pi – 1) ] / [1 – 0.5 /sqrt(Pi)]

其中  P1 = 2  P2= 3   从i = 2 开始推算。

还可推出更精确的累积型递推式

   因为  Pi+1 = Pi + ln Pi /[ 1- 0.5 /sqrt(Pi)]

= Pi [ 1 + ln Pi /( Pi - 0.5 sqrt(Pi)) ]

   两边取对数得    ln Pi+1 = ln Pi [1 + 1 /(Pi - 0.5 sqrt(Pi) ) ]

所以得  Pi+1 = Pi ^ [1 + 1 /( Pi - 0.5 sqrt(Pi)) ]

           = Pi Pi ^ [1 /( Pi– 0.5 sqrt(Pi) ) ]

它们都可带着小数无限往后推算。若将其序列曲线与真实的素数序列曲线放在一起，那么其重合度是相当高的。只是真实的素数在圆滑的曲线上下有些波动。
精确素数定理的发现在数论研究史上意义重大，由此我们彻底解决了素数个数的精确计算问题。
i =π(x) =∫[1 – 0.5/sqrt(x)] (dx/lnx)
= li(x) -∫[0.5/ln(sqrt(x))] d[sqrt(x) ] = li(x) - 0.5 li[sqrt(x)]
li(x) – π(x) = 0.5 li[sqrt(x)] ≈ sqrt(x)/lnx
根据现有的数据资料，可以证明这一规律的正确性。

lusishun

山东老乡，看看可免费下载的《倍数含量筛法与恒等式的妙用》一文，