用类似敢峰的演绎法构造无环形链的H—构形

雷明85639720

用类似敢峰的演绎法构造无环形链的H—构形
雷  明
（二○二○年七月二十三日）

敢峰先生用演绎的方法（即转型交换的方法）构造了埃雷拉图（E—图），现在，我也仿敢峰先生用演绎的方法来构造一个无环形链的H—构形。与敢峰先生的思想方法相同，也是对一个可以连续的移去两个同色的构形，在交换了一个关于两个同色的链后，不去直接的连续再移去另一个同色，而是有意的构造从另一个同色顶点到其对角顶点的连通链，使之不能连续的移去两个同色。一直这样进行下去，等到在平面图范围内再不可能构造出这样的连通链时为止。若再不能构造出连通链的那次转型交换是第n次转型，那么第n－1次转型得到的图就是一个可以连续的移去两个同色的可约的K—构形，第n－2次转型得到的图才是一个无环形链的H—构形。
现在从最初的原始图（可以连续的移去两个同色B的最简单图）开始，采用逆时针转型的办法进行演绎（转型）如下图1。图中虚线边均是在构造连通链时所增加的边和顶点；加粗边和加大顶点是不能构造连通链时各链间的相互关系——有一条环形链把要构造的链隔在了环的两侧，不可能连通。
可以看出，初始图在第６次转型（如图1，6）后不可能再构造出从另一个同色顶点到其对角顶点的连通链了，那么第５次转型（如图1，5）后的图就是可以连续的移去两个同色的可约的K—构形了，把这个图连同构造连通链时所增加的边和顶点，再顺时针方向转型（原转型方向的逆向转型）一次（如图2，1），就是一个无环形链的H—构形。





由于图1，5不是H—构形，所以第一次转型不应算作有效转型次数。继续再逆向转型4次后，就得到与原先初始状态时峰点的位置和颜色都相同的123—BAB型的可以连续的移去两个同色的可约的K—构形（如图2,5），其前一次顺转型所得的图（如图2，4）就是一个与原先初始状态时峰点的位置和颜色都不相同的一个451—DCD型的无环形链的H—构形。这就是我们所要构造的无环形链的H—构形。这个构形一次顺时针转型后，就得到了可以连续的移去两个同色的可约的K—构形，再交换两次，就可以空出颜色给待着色顶点。其逆时针转型是什么样子呢，请看图3。图3是对图2，4进行逆时针连续转型的结果，4次转型图后，图就可以转化成可以连续的移去两个同色的可约的K—构形。







通过图2和图3可以看出，我们构造的无环形链的H—构形，顺时针转型时，一次转型就可以转化成可以连续的移去两个同色的可约的K—构形；逆时针转型时，四次转型也就可以转化成可以连续的移去两个同色的可约的K—构形。两个方向的转型次数之是5。
现在把图3，0（也即图2，4）转化成标准的123—BAB型的构形（如图4，其中图4，3是一个标准的123—BAB型的无环形链的H—构形）。经检验，的确是一个H—构形，从一个B色顶点交换了与其对角顶点的颜色呈对角链的链后，均能够生成从另一个B色顶点到其对角顶点的连通链（如图4，4和图4，5中的加粗边）。



对所构造的构形（如图2，4转化成的标准图图4，3）进行转型着色如图5和图6，两个方向转型次数之和也正好是5，与以面的结论是一致的。






现在与敢峰先生的演绎法结果比较一下：
敢峰先生的结果是构造了一个无穷周期循环转型的构形，即埃雷拉图，用转型的方法是不可能空出颜色给待着色顶点的；而我这里却构造的是有限次转型就可以空出颜色给待着色顶点的可约构形。不知这是什么原因？但我只发现了敢峰先生在演绎时，在前两次的转型中，在人为构造连通链时，虽然有的是捷径，但先生却未走，而是绕了一个大弯子。而在以后的转型中，由于都只有一条路径可走而没有绕弯子的可能，所以也就再没有再绕弯子了。为什么是这样，这两处的文字说明也很难看明白，只知大意是在说，如果走捷径，在以后的演绎中将会成为可约的构形。但却没有说明他的目的是要构造一个什么样子的构形。
敢峰先生的他的《四证》中第一步的文字中说：“在A一D环内进行B与C二色互换，打破A一C环，使五轮图转型为双C夹D色型。”接着又说：“使图形不成A一B环和C一D环，也形不成在原双环交叉条件下既无A一B环也无C一D环的四色可解的构形。”但先生演绎的最后结果却是一个A—B环和C—D环都同时存在的构形呀？难道这个构形不是一个“四色可解的构形”吗？走不走弯路最后得到的都是可解构形，为什么不走捷径呢？
难道象我上面的转型（演绎）的结果，说明任何无环形链的H—构形都是能够经过有限的若干次转型，就可以转化成可以连续的移去两个同色的可约的K—构形，还不可以吗？为什么非得要得到一个无穷周期循环转型的“无解”构型呢？为什么敢峰先生一定要这样做呢？还得好好的进行研究。也请敢峰先生和张彧典先生能给出解答。

雷  明
二○二○年七月二十三日于长安

注：此文已于二○二○年七月二十四日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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