证明：∫(0,1)x^(n-1)(lnx)^k dx=(-1)^k k!／n^(k+1)

elim

题：试证\(\small\;\displaystyle\int_0^1 x^{n-1}\ln^k x\,dx=\frac{(-1)^k k!}{n^{k+1}}.\;\;(k,n-1\in\mathbb{N})\)

elim

引理\(\;\displaystyle\lim_{x\to 0+}x\ln^k x = 0\;(k\in\mathbb{N})\)
证：\(\;\displaystyle\lim_{x\to 0+}x|\ln^k x|\overset{s=|\ln x|}{=}\lim_{s\to\infty}{\small\frac{s^k}{e^s}}=0\qquad(\star)\)

命题：\(\;\displaystyle{\small\int_0^1}x^{n-1}\ln^k x dx = \small\frac{(-1)^k k!}{n^{k+1}}\)
证：\(\displaystyle{\small\;I(n,k):=\int_0^1}x^{n-1}\ln^k x dx{\small=\frac{x^n}{n}}\ln^k x\bigg|_0^1{\small-\frac{k}{n}\int_0^1}x^{n-1}\ln^{k-1}x dx\)
\(\qquad\overset{(\star)}{=}{\small\dfrac{-k}{n}I(n,k-1)}\quad\small(I(n,0)=\frac{1}{n}).\quad\square\)

luyuanhong

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永远

测试专用：

直接拷贝网页Mathjax方程源,效果是乱的：

\small\;\displaystyle\int_0^1 x^{n-1}\ln^k x\,dx=\frac{(-1)^k k!}{n^{k+1}}.\;\;(k,n-1\in\mathbb{N})


修改后的：

\(\small\;\displaystyle\int_0^1 x^{n-1}\ln^k x\,dx=\frac{(-1)^k k!}{n^{k+1}}.\;\;(k,n-1\in\mathbb{N})\)

elim

LaTEX 内容不包括定界符\(及\), 就好象信件本身不包括信封一样.