已知正 109 边形的面积为 10，求所有的由连续几个顶点连成的凸多边形的面积之和

wintex

請問幾何

luyuanhong

题  已知正 109 边形的面积为 10，求所有的由连续几个顶点连成的凸多边形的面积之和。

解  连接正 109 边形任何两个不相邻的顶点，可以将正 109 边形划分成两个由连续几个

顶点连成的凸多边形。由此可见，所有符合条件的凸多边形，可以两两配对，每一对凸多

边形的面积之和，等于整个正 109 边形的面积，即等于 10 。

    由于正 109 边形共有 C(109,2) - 109 = 109×108/2 - 109 = 5777 条不相邻顶点的连线，

所以共有 5777 对符合条件的凸多边形。因为每一对符合条件的凸多边形的面积之和

为 10 ，所以全部符合条件的凸多边形的面积之和为 5777×10 = 57770 。   

boob

不相邻顶点的连线还要扣掉109条

luyuanhong

谢谢楼上 boob  指出！我原来的解答确实疏忽了，现已在第 2 楼中作了修改。