回复张彧典朋友

雷明85639720

回复张彧典朋友
雷  明
（二○二○年七月二十月二十七日）

老张朋友；
1、我按你的建议，把我的做法与敢峰先生的做法进行了一下对比。发现两人的想法都是相同的，都是想尽量的构造从另一个同色顶点到其对角顶点的连通链，在转型过程中尽可能多的构造出双环交叉链，使转型的结果尽可能多的保持在仍是H—构形的情况。
2、想法相同但具体做法上却有差别，这是产生不同结果的主要原因。敢峰先生十四步演绎得到的是“终极图”，而我却只进行了几次转型就得到了四色可解的结果。两人在具体操作上却都是没有错误的。
3、敢峰先生是在某两种颜色与待着色顶点构成的“环”的一侧进行另外两种颜色的“换色”，不管这些顶点是否在一条链上，都进行“换色”；而我仍是按老习惯，只是从一个同色顶点开始“交换”某一条链上的顶点的颜色，不在该链上的顶点就不再交换颜色了。差别虽不大，但带来的效果却不同。
4、在某环一侧对所有另外两种颜色的顶点“换色”，带来的效果是：为下一步构造连通链时提供了更大的空间，构造成功的可能性就更大了；而“交换”只是在一条链上对两种颜色的顶点进行颜色交换，这样的交换对下一步的构造连通链是起不到这个作用的。但这两个方法还是不能混用的，“换色”用在构图时是一种好的方法，而“交换”却是用在着色时的一种好方法，包括对四色猜测的证明。
5、敢峰先生在构造连通链时，是能穿越别的链就穿越别的链，构造的连通链至少在四个顶点以上，决没有是单边链的；而我在构造时，则是能不穿越别的链就不穿越了，构造的连通链却有单边链的情况。
6、这样，先生的做法就对构造更多的连通链留有更多的余地，所以先生最多用了十四次转型，就得到了峰点的颜色和位置均不是标准颜色和位置的终极图；而我的做法中由于有单边链的存在，不能使别的任何链穿过，空间小，所以在几次转型后，就得到了四色可解的结果。应该说我的做法还属于着色的过程，而敢峰的做法才是真正的构造不可免构形的过程。
7、总之，敢峰先生的做法是想尽一切办法要阻止四色可解线路的生成，直到不需要再人为的构造连通链，而在连续的多次转型后都自然形成连通链时为止。然后再想办法去解决这个构形的可约性问题；而我的做法实际上还是在对已知构形进行着色。
8、我把先生和我的不同做法的前八步进行分折如下：
初始图都是相同的，都含有双环交叉链A—C和A—D。

第一步，这一步的转型的换色和交换基本是相同的，都是在初始图中的A—D—V环内交换C、B两种顶点的颜色。但其后构造连通链时就不同了。敢峰先生是构造了一个多顶点和边的连通链B—D，且穿过了构形原有的A—D链，从构形的左侧绕了一个大圈；而我构造的连通链则是直接把构形右则的顶点6C和4D相连接，得到的顶点6到顶点4的B—D链却只有一条边，并与别的链不发生任何关系（图中的虚线边是在构造连通链时增加的边和顶点）。

这一步，敢峰先生在《4CC》一书中说，不这样做在以后的演绎中就会得到可解的四色线路图。但没有说不这样做为什么就会得到有解的四色线路图，也没有说这样做了为什么就不会得到有解的四色线路图，更没有说为什么最后反而会得到用转型交换法不能解决的四色不可解线路图。

第二步，敢峰先生是在第一步图中的D—B—V环（图中的加粗边构成的圈）内对所有的A、C两种顶点进行换色的，而我是从5—轮左下角的C色顶点5开始交换C—A链.二者的结果虽是相同的,但其后在构造连通链时就不同了。敢峰先生构造C—B链仍是有多个顶点和边的，同样也穿过了别的链；而我构造的连通链C—B虽是多个顶点，但仍然是直接把1B和8A相连的，也同样与别的链没有发生任何关系。敢峰先生在这一步换色后构造连通链时，同样也从构形的右侧绕了一个大圈，但书中却没有说明，我想可能也会和第一步是相同的原因吧！

第三步，敢峰先生是在第二步图中的B—C—V环外对所有的A、D两种顶点进行换色的，而我则是从5—轮最上的A色顶点1开始交换A—D链，这时两个结果就不相了。敢峰先生的换色中，把B—C—V环外的所有A色顶点都换成了D色，D色都改成了A色，并不要求都在同一条链上（如第三步图左上的一个加大顶点D就是由A色换来的，它就与其他的顶点不在一条D—A链上），但这却为第四步换色后构造连通的A—D链打下了基础。否则，把那个A色顶点若不改成D色，第四步换色后的连通链A—D就不可能构造出来，转型也就只得就此结束。
从这一步开始，敢峰先生的操作以后每次转型后构造连通时，就只有一条路线可走了；而我的操作以后每次转型后构造连通链时，也就都要与别的链发生关系了，即要穿过别的链。
第四步，敢峰先生是在第三步图中的A—C—V环内对所有的D、B两种顶点进行换色的，而我则是从5—轮的右下角的A色顶点4开始交换B—D链。

第五步，敢峰先生的图中,这一次转型的结果中不要构造自然就有一条连通链。我的图中还需要继续构造连通链。


第六步，敢峰先生的图还可以继续转型，继续的构造连通链；而我的图这步转型后，就不可能再构造连通链了，转型将要结束。
第七步，敢峰先生的转型和构造连通链继续进行，而我的图则已经空出了颜色给待着色顶点。敢峰先生该步转型中也有一个换过色的顶点D与其他顶不在一条D—A链上。
第八步，敢峰先生的转型和构造连通链仍在续续，而我的转型已经结束。


至此，终极图的匡架已基本形成，但图中还有两个四边形没有对角线。在以后的转形中，只有第十步和第十四步两步转型后的连通链是人为构造的，填补了这两个四边形的对角线。其他各步转型（如第九步，第十一步，第十三步四次）后的连通链都是自然形成的。这说明在第十四步转型后，图已经是一个极大图了，不可能再构造连通链了。应该说到十四步转形就已经得到了“终极图”，只是构形的峰点颜色与位置不是标准型的，而是一个ABA型的、峰点不在图的最上方顶点2的非标准型的“终极图”构形罢了。
9、现在我们把敢峰先生的第十四步图（图中的加粗边和虚线边是两条双环交叉链B—C和B—D，两链共有四个加大的并着有B色的共用顶点，其中三个是交叉顶点。下同）进行一个拓朴变形，看是不是敢峰先生最后得到的“终极图”。首先第一步是把图中的A色顶点和B色顶点的颜色互换，把C色顶点和D色顶点的颜色互换，把图由一个ABA型的构形变成一个BAB型的构形（图中的双环交叉链A—C和A—D也共有加大的并着有A色的共用顶点，其中三个是交叉顶点）；第二步是再把构型的峰点转移到图的最上方的顶点2上，得到的图是E—图四姐妹图中的老三（即E—图第二次逆时针转型所得的图），双环交叉链A—C和A—D仍共有四个着A色的共同顶点（其中三个是交叉顶点）；最后第三步，是把图中C—D环（图中的双线边所构成的圈）外的A色顶点和B色顶点的颜色互换，就得到了峰点在最上方顶点2上的标准的BAB型的“终极图”，这个图就是E—图四姐妹图中的老大（即是E—图本身），这时双环交叉链A—C和A—D共有两个着A色的共同顶点（其中一个是交叉顶点）。这个图与敢峰先生第二十步图所得到的“终极图”是一模一样的（见以下各图）。在以上的第三步交换中，由于C—D环（双线边）未经过构形的围栏顶点，所以构形不会转化成K—构形。



这样以来，张彧典先生所说的敢峰先生是用了16次转型得到的终极图的说法就是不对的，应该是14次。这一问题，我在以前已经给张先生指出过多次，并写了专门的文章，还说了他这是在“硬凑合”。张先生认为敢峰先生是用16次转型得到了终极图的，自然而然的也就认为应该有15个构形是非终极图型的构形。由此就有了他的15个Z—构形的概念。若把Z—构形具体表示为Zn时，他认为各Z—构形的转型次数就是n＋1次。当n＝15时，最大的转型次数就是15＋1＝16。这完全是在凑合嘛！把本来就不是一回事的两件事，硬往一起拉。如果是这样，你总不能现在又说只有13个Z—构形了吧，也不能说最大的转型次数是14了吧。即就是把开始转型前的初始图也看成是一个非终极图型的构形，最多也只是14个Z—构形，最大转型次数也只能是15，而不可能有15个Z—构形，最大转形次数也不可能是16。所以我一直认为张先生单从改变一个埃雷拉图（E—图）中的四色四边形的对角线所得到的15个非埃雷拉图的Z—构形是错误的，是偏面的，是不能代替所有非终极图型的构形的。可几年的争论至今仍未结束。
10、在敢峰先生的操作中，最开始的两步转型后，在构造连通链时，都是利用了从顶点4和顶点5分别到顶点8的A—D链和A—C链中的其他顶点的，其后直到构造出终极图来时的其他各步转型中，却都是没有用到初始图中各链中的其他顶点的。如果在顶点2A和6C间还存在着着有C色和A色的其他顶点，在顶点2A和7D间也存在着着有D色和A色的其他顶点，在顶点1B和7D间也存在着着有D色和B色的其他顶点时，则在第五步转型后，所构造出的连通链就不是上面的“敢峰第五步图”中的样子了，而是如下面的“敢峰第五步图（副）”中的样子，连通链中至少增加了三条边。



现在我们对这个敢峰第五步图（副）再进行连续的转型时，则如上面的副图。到了敢峰第七步图（副）时，才经过了两步转型就再也构造不出连通链了，而是转化成了一个可4—着色的图了，可以空出A色或C色给待着色顶点V着上（如敢峰第八步图（副）的两个图）。可见敢峰先生同样也是为了不至于过早的产生4—可着色的线路图，也就只好不再在初始图中的上述几条边中增加别的顶点了。才保证了在转型的最后时构造出了他的“终极图”。
11、敢峰先生在第三步和第七步转型的“换色”中，各有一个顶点不在链上，但也照样的进行了换色。就是这一换色，才都为在第四步转型和第八步转型后的“构造连通链”时发挥了作用。否则，将不可能再构造出连通链来，使转型结束，图转化成有解的4—可着色线路图，而不能构造出终极图来。这就是在某环的一侧对所有着有另外两种颜色的顶点进行换色的妙用，也是构造不可免构形的一个妙招。
12、关于平面图的不可避免构形集的问题：
对所有构形从“有无双环交叉链”的角度上去分，可分为无双环交叉链的构形（K—构形）和有双环交叉链的构形；对“有双环交叉链”的构形从“能不能通连续的移去两个同色”的角度上去分，又可分为可以连续的移去两个同色的构形（也属于K—构形）和不能连续的移去两个同色的构形（H—构形）；对“不能连续的移去两个同色”的构形从“有无经过围栏顶点的环形链”的角度上去分，还可分为有环形链的构形和无环形链的构形；对于“有环形链的构形”再从“环形链的类型”的角度上去分，也再可以分为有A—B环形链的构形和有C—D环形链的构形；对于既有A—B环形链和又有C—D环形链的构形，可任意的归入哪一类有环形链的构形即可。这就是平面图的不可避免构形集。
13、各种类型的不可免构形的解决办法：
不管是有双环交叉链的构形，还是没有双环交叉链的构形,只要是K—构形（即坎泊构形）都可用“空出颜色的交换法”（K—交换）去解决，最多只需要交换两次（需要空出两个同色的构形交换两次，空出其他三种颜色的构形只交换一次）。
对于有双环交叉链的H—构形（即赫渥特图类构形），当构形中有环形链时，用“断链交换法”（即张彧典先生的Z—换色程序）去解决，最多只需要交换3次（需要空出两个同色的构形交换3次，空出其他三种颜色的构形只交换两次）：其中有A—B环形链的构形交换A—B环内、外的任一条C—D链，即可转化成K—构形；有C—D链形链的构形交换C—D环内、外的任一条A—B链，也即可转化成K—构形；既有A—B环形链，又有C—D环形链的构形，可以随便交换A—B链和C—D链中的任何一条，都可以转化成K—构形。
但当构形中无环形链时，只能用“转型交换法”（即张彧典先生的H—换色程序）去解决（当然，个别的图虽然可以用特殊的方法去解决，但转型交换法却是一个对解决该类构形中的任何一个构形都普遍适用的方法），再去分折构形属于哪一类，若图仍是无环形链的构形时，就继续转型，直到图转化成可以连续的移去两个同色为止。
14、不可免构形最大交换次数的确定：
以上的各构形的解决办法中，除了无环形链的H—构形外，交换的次数都是有限的，而只有无环形链的H—构形的交换最大次数还不知道。我在这里所说的最大交换次数是指把构形转化成可以移去两个同色的可约的K—构形时的交换（转型）次数。所以也一定要想办法给出该类构形“最大的转型次数”，而且一定还要是一个有“具体数的有限数值”的数。否则，还是不能证明四色猜测就一定是正确的。这个数值我通过对非具体图的构形转型交换的实践和纯理论（即因为E—图是一个无穷周期循环转型的构形，而无环形链的构形却是一个非E—图的构形，转型的次数是不会发生周期性的循环转型的）上两个方面的证明，都证明了该类构形的最大转型次数是不会大于20次的。这只是一个理论值，而实际对具体的图转型时是不会大于5次的。这就能证明四色猜测是正确的了。虽然如此，但我对我的无环形链的构形的最大交换次数的证明还是很不放心的，是否我们共同来进行研究。
15、还有一个问题，我不知敢峰先生构造这样一个构形（终极图）对于证明四色猜测有什么用处，也看不出用此图如何来证明四色猜测。我只能看到这个终极图只是一个个别的图，图中有一条A—B环形链，是属于有环形链的构形一类，用断链交换法处理就可以了。的确，敢峰先生，张彧典先生和我雷明，也都认为、并都是使用断链交换法对这个终极图（也就是E—图）的待着色顶点V进行着色的。可敢峰先生总认为他用大演绎的方法得出的这个图是非常的重要。从他对他所构造的图的命名——终极图——上看，就可以看出他对他的图是非常看重的。但我是看不出来有什么重要之处的。它只不过是一个与赫渥特图一样，是一个含有双环交叉链的图罢了，也是只能说明坎泊在证明时，是把含有双环交叉链的这种构形漏掉了，不就是只能够说明坎泊的证明还不是很全面的一个例图吗？张先生，你的看法是什么，请交换意见。

张先生，请你好好的再把敢峰先生的演绎研究一下。我认为你还是没有看懂敢峰先生的方法。我发现你看别人的东西时，总是不过细，没有看明白就发议论，往往你所说的与别人文章中讲的完全是两回事，不是一个意思。
若有不当之处，请先生指出。


雷  明
二○二○年七月二十七日于长安

注：此文已于二○二○年七月二十九日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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