设 a,b 为非负实数且 a+b≤2 。 证明：1/(1+a^2)+1/(1+b^2)≤2/(1+ab)

popo987654

不等式的证明

小fisher

\(a+b\le2\implies ab\le\frac{(a+b)^2}{4}\le 1\)
\(\frac1{1+ab}-\frac1{1+a^2}=\frac{1+a^2-1-ab}{(1+ab)(1+a^2)}=\frac{a(a-b)}{(1+ab)(1+a^2)}\\\frac1{1+ab}-\frac1{1+b^2}=\frac{1+b^2-1-ab}{(1+ab)(1+b^2)}=\frac{-b(a-b)}{(1+ab)(1+b^2)}\\\frac2{1+ab}-\frac1{1+a^2}-\frac1{1+b^2}=\frac{a(a-b)(1+b^2)-b(a-b)(1+a^2)}{(1+ab)(1+b^2)(1+a^2)}\\=\frac{{(a-b)}^2(1-ab)}{(1+ab)(1+b^2)(1+a^2)}\geq0\)
不好意思，第一遍回复的计算过程有错误，最后一步大小关系弄反了

luyuanhong

楼上 小fisher 的解答很好！已收藏。