一个重要极限的证明与有关问题

jzkyllcjl

关于于\(\displaystyle，lim_{x\to0}, sinx/x=1\)
的现行教科书证明，在研究谢芝灵圆面积问题中不能使用，谢芝灵的逻辑反复的指责是对的。为此，现在说说不使用初等几何中扇形面积公式的证明方法。 由于证明的是x趋向于0的极限，所以证明中不能取X=0，应当取它为较小的数，证明时，象谢芝灵那样取直径为1单位圆圆心为坐标原点，横坐标与圆周的交点为A，过A点作圆的切线，在圆周取一点D,AD的弧长记作x, 此时对应的圆心角为x， 过D点作OA的垂线，这个垂线长就是sin x， 显然sin x<x 成立。记OD与过A点的圆周的切线交点为B，则AB的长度为tgx， 过点D 作圆周的切线，与AB 交点 记作C，则DC<AC, 于是可以得到：AB>DC+AC,而 DC 与AC 是圆弧AD的两条外切线，所以DC+AC〉x，故 tgx〉x。  合起来，得到不等式 sin x <,x<tgx。将这个不等式的各端除以sin x,,  就得到不等式的两端的极限为1；因此，根据夹逼准则，中间的 比式x/sinx 的极限也是1，其倒数的极限也是1。这样就消除了这个重要极限的证明需要使用扇形面积公式的条件。也彻底消除了谢芝灵疑虑。
在此需要指出：文化大革命之前与文化大革命后的高等数学都是使用扇形面积公式证明这个重要极限的，这个重要极限是微分学的基础，但文化大革命期间上海编年《高等数学》不用这个重要极限证明了sin x 的导数；那个数的绪论中可以说对这个重要极限的证明 做了批判，但那个书中的导数计算也是需要研究革写的。还需指出：这个问题涉及面很大，事实上，笔者1962 年提出的“点的大小是不是0呢？瞬时速度的瞬时得长度是不是0 呢？” 就涉及到几何基础、无穷集合的理论、微积分学基础的问题，这个问题是笔者研究了58年的问题。

11111qqqq

不用扇形面积可以用整个圆的面积吧？
首先，由于任意两圆相似，面积比等于对应线段比的平方（这个可以作为一条公理），得一个圆的面积等于其半径平方乘常数。
其次，考虑圆的内接正n边形，依次连接圆心和各个顶点，得到n个等腰三角形，由SSS知道它们全等。每个三角形的顶角是\(\displaystyle \frac{2\pi}{n}\)。所以，三角形的面积总和为\(\displaystyle \frac{1}{2}nr^2\sin{\frac{2\pi}{n}}\)，这也是内接正n边形的面积。
接着，考虑圆的外切正n边形，连接圆心和各个顶点以及各个切点，可以分成2n个直角三角形，很容易证明它们全等。每个直角三角形有一条直角边是r，与这条边相邻的锐角是\(\displaystyle \frac{\pi}{n}\)，所以\(\displaystyle \tan\frac{\pi}{n}=\frac{另一条直角边}{r}\)，所以每个直角三角形面积为\(\displaystyle \frac{1}{2}r^2\tan\frac{\pi}{n}\)，外切正n边形面积为\(\displaystyle nr^2\tan\frac{\pi}{n}\)。
所以\(\displaystyle nr^2\tan\frac{\pi}{n} \gt 圆面积 \gt \displaystyle \frac{1}{2}nr^2\sin{\frac{2\pi}{n}}\)

注意到一个圆的面积等于其半径平方乘常数，所以：
\(\displaystyle n\tan\frac{\pi}{n} \gt 常数 \gt \displaystyle \frac{1}{2}n\sin{\frac{2\pi}{n}}\)

11111qqqq

然后考虑圆周长，由于任意两圆都相似，所以圆周长除以直径为定值，记这个定值为\(\pi\)，所以圆周长为\(2\pi r\)。
两点之间线段最短，所以圆周长大于圆内接正n边形的周长。
考虑圆的内接正n边形，依次连接圆心和各个顶点，得到n个等腰三角形，由SSS知道它们全等。每个等腰三角形顶角的一半为\(\displaystyle \frac{\pi}{n}\)，所以\(\displaystyle \sin{\frac{\pi}{n}}=\frac{底边长的一半}{r}\)，所以每个等腰三角形底边长为\(\displaystyle 2r\sin{\frac{\pi}{n}}\)，所以圆内接正n边形周长为\(\displaystyle 2nr\sin{\frac{\pi}{n}}\)。
所以\(\displaystyle 2\pi r \gt 2nr\sin{\frac{\pi}{n}}\)。
所以\(\displaystyle \pi \gt n\sin{\frac{\pi}{n}}\)

11111qqqq

11111qqqq 发表于 2020-8-7 09:43
然后考虑圆周长，由于任意两圆都相似，所以圆周长除以直径为定值，记这个定值为\(\pi\)，所以圆周长为\(2\p ...

这里从直观上就差不多能推出楼主那个极限了，但不知道怎么严谨化。

jzkyllcjl

11111qqqq 网友； 你说的证明圆面积的 方法，我 没有反对。  我是 为了针对 谢芝灵 医院面积计算问题 反对极限 极限方法法 与他 叙述问题的。因为 他说了 逻辑反复的话，所以 我说了 我 原来 针对文化大革命 时期 对 上海 编《高等数学》的一个 考虑过的意见。 总之，我认为： 极限方法是需要的，但需要指出数列的极限值常常是 数列不可达到理想性 数值。根据毛泽东的《实践论》中“通过实践而发现真理，又通过实践而验证真理和发展真理”的论述，对初等几何的已有研究与实数理论都需要再深入研究。此外，根据毛泽东的《矛盾论》中“对立统一的法则，是唯物辩证法的最根本的法则”、“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”的论述，以及笔者对数学理论的来源与应用进行58年反复研究的结果，笔者提出：数学理论的阐述，不能单靠形式逻辑规律，还必须使用唯物辩证法，具体一点讲，“需要使用：理论与实践、理想与现实、精确与近似、无限与有限、零与非零足够小之间的对立统一、分工合作的关系阐述数学理论”。这个思想也可以说是：古代就有的“阴阳生万物”的太极图思想。

11111qqqq

11111qqqq 发表于 2020-8-7 09:28
不用扇形面积可以用整个圆的面积吧？
首先，由于任意两圆相似，面积比等于对应线段比的平方（这个可以作为 ...

记常数为\(p\)

\(\displaystyle n\tan\frac{\pi}{n} \gt p \gt \displaystyle \frac{1}{2}n\sin{\frac{2\pi}{n}}\)

\(\displaystyle n\sin\frac{\pi}{n} \gt p\cos\frac{\pi}{n} \)
\(p \gt \displaystyle n\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n}\)

所以\(\displaystyle \pi \gt p\cos\frac{\pi}{n} \)
所以\(\displaystyle \frac{\pi}{\cos\frac{\pi}{n}} \gt p \)

elim

谢芝灵江郎才尽,看不出他的错误的人, 被阿基米德,祖冲之等古人甩出了十万八千里.  jzkyllcjl 就是这种败类.