求不定积分 ∫(x(x(x(x…)^(1/5))^(1/4))^(1/3))^(1/2)dx

zytsang

求：
\[
\int  \sqrt{x\cdot\sqrt[3]{x\cdot\sqrt[4]{x\cdot\sqrt[5]{x\cdots}}}}\text{ d}x
\]

解答：
我们有
\[
\begin{aligned}
\sqrt{x\cdot\sqrt[3]{x\cdot\sqrt[4]{x\cdot\sqrt[5]{x\cdots}}}}
&=x^{1/2!}\cdot x^{1/3!}\cdot x^{1/4!}\cdot x^{1/5!}\cdots \\
&=x^{\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\cdots} \\
&=x^{e-2}
\end{aligned}
\]
所以
\[
\int \sqrt{x\cdot\sqrt[3]{x\cdot\sqrt[4]{x\cdot\sqrt[5]{x\cdots}}}}\text{ d}x
=\int x^{e-2}\text{ d}x
=\frac{x^{e-1}}{e-1}+C
\]

luyuanhong

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