约翰逊多面体

luyuanhong

约翰逊多面体01：前言

作者 | 扬帆起航552
来源 | 小谜题大世界

约翰逊多面体是指除了5个正多面体、13个阿基米德体、无穷多个等棱长的正棱柱及反棱柱以外，所有由正多边形面组成的凸多面体。1966年，美国数学家诺曼·约翰逊发现了92种这样的几何体。1969年，维克托·查加勒证明约翰逊多面体只有这92个。

在这92个约翰逊多面体中，有三种最基本的几何体——棱锥、台塔和丸塔。





参考文献：

约翰逊多面体. 北城百科网  https://www.beichengjiu.com/mathematics/172649.html

luyuanhong

约翰逊多面体02：三种基本几何体的组合

在上期我们介绍了约翰逊多面体中的3种基本几何体：棱锥、台塔和丸塔。那么，3种基本几何体互相组合之后可以得到哪些约翰逊多面体呢？

luyuanhong

约翰逊多面体03：棱柱与基本几何体的组合（一）

上期我们讲了三种基本几何体——棱锥、台塔和丸塔之间的组合，得到了10种约翰逊多面体。从这期开始我们讲棱柱与基本几何体的组合——首先是棱柱与棱锥的组合。

首先，我们知道，由正多边形构成的棱锥有三种，即等棱长的正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥。它们的底面分别是正三角形、正方形、正五边形，而侧面都是正三角形。

其次，根据棱锥接在棱柱上面的位置的不同，有三种可能情况：第一种，接在棱柱的顶面（或底面）；第二种，接在棱柱的侧面；第三种，同时接在顶面（或底面）和侧面。下面我们分类讨论。






最后提个问题：一个正四棱锥的侧面接一个正三棱锥，结果有几个面？答案下期揭晓。

luyuanhong

约翰逊多面体04：棱柱与基本几何体的组合（二）

上期我们讲了棱柱与棱锥的组合，这期接着讲棱柱与台塔及丸塔的组合。





上期末尾提了一个问题：一个正四棱锥的侧面接一个正三棱锥，结果有几个面？现在给出答案。答案是一个有5个面的斜三棱柱，因为含有两个菱形面，故不属于约翰逊多面体。这个问题曾经是1982年全美初级学术能力测验中的一道题，有83万个中学生参加。当时的标准答案是一个七面体，后来被17岁的中学生丹尼尔用橡皮泥做的模型推翻了。实际上，可以算得，正四棱锥两个相邻侧面的二面角与正三棱锥的二面角正好互补。
   
参考文献：

1.约翰逊多面体. 北城百科网 https://www.beichengjiu.com/mathematics/172649.html

2.顾森.高度对称的多面体和它们的对偶多面体

3.马明.敢于质疑.初中生数学学习,2000(06)

luyuanhong

约翰逊多面体05：反棱柱与基本几何体的组合

前两期我们讲了棱柱与基本几何体的组合，这期接着讲反棱柱与基本几何体的组合。首先介绍一下什么是反棱柱：反棱柱（Antiprism）是由两个边数相同的平行基底和侧面的三角形组成的多面体。如下图，上面是等棱长的正N棱柱，下面是正N角反棱柱（N=3,4,5,…,9）。





参考文献：

1.约翰逊多面体. 北城百科网 https://www.beichengjiu.com/mathematics/172649.html

2.顾森.高度对称的多面体和它们的对偶多面体 http://www.matrix67.com/blog/archives/6161

luyuanhong

约翰逊多面体06：正多面体与基本几何体的组合

与之前文章不同的是，标题中的“组合”一词有两层内涵——既包括两种几何体的拼接，也包括从正多面体中削去基本几何体。

luyuanhong

约翰逊多面体07：阿基米德体与基本几何体的组合（一）

从本期开始，我们将介绍阿基米德体与基本几何体的组合。同样，组合一词有两种含义，拼接或者削去。这期先讲在阿基米德体上拼接基本几何体。

luyuanhong

约翰逊多面体08：阿基米德体与基本几何体的组合（二）

在上一期，我们讲了阿基米德体拼接基本几何体的情况；这期我们讲阿基米德体削去基本几何体，以及削去和拼接并存的情况。

luyuanhong

约翰逊多面体09：球形屋根等其他多面体

在前几期文章中，我们介绍了三种基本几何体（棱锥、台塔、丸塔），及其与基本结构的组合，包括棱锥、台塔、丸塔、棱柱、反棱柱、正多面体、阿基米德体等，共计82种。本文将介绍剩下10种不属于上述形式的约翰逊多面体。

笔者认为，利用磁力片可以很好的认识这10种约翰逊多面体的结构特点。因此，下面将借助磁力片对每种约翰逊多面体的拼搭方式做详细介绍。




参考资料：

1. 约翰逊多面体.北城百科网 https://www.beichengjiu.com/mathematics/172649.html