n≥2 时，用分部积分法推导求定积分 In=∫(0,π/2)[cos(x)]^n dx 的递推关系式

wufaxian

原题叙述如下：





现在的技巧是我们需要提出一个因子 cos(x), 像这样





现在使用分部积分法，设置 = cosn-1(x),    dv = cos(x)dx. 这也就是说，v =sin(x).




如果 n>=2,这时在等式右侧的表达式的结果是 0, 因为 cos(Pi /2) = 0, sin(0) =0. 另一方面，在积分中我们可以用 1-cos2(x) 替代 sin2(x), 可得到



---------------------------------------请问，分部积分首项就是简单的UV (原理是来自于导数的乘法)。
现在为什么要写成反导数差的形式？（前面讲分部积分是用不定积分为例讲的），但是我想U*V 就是U*V 。
为什么要引入反导数差的概念。n>=2时为什么要将pi/2代入cos(x) ,将0带入sin(x)？？？？？？？？

luyuanhong

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-8-17 18:02

谢谢。讲的很清楚。我明白了，十分感谢！