已知 x^2+xy+y^2=3(x+y+3) ，求 x^2+y^2 的最大值和最小值

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為何得不到最大值27

luyuanhong

利用算术-几何平均不等式求最大、最小值时，在不等式的一边必须是一个常数才有意义。

如果不等式的两边都是代数式，则不能说明什么问题，对于求最大最小值没有用处。

举个简单的例子：

已知 x^2+y^2=4 ，求 x 的最大值。

容易看出，当 x=2 ，y=0 时，满足 x^2+y^2=2^2+0^2=4 ，这时 x 取到最大值 x=2 。

但是，如果像你那样用算术-几何平均不等式，写出 (|x|+|y|)/2≥√|xy| ，

然后说，当 |x|=|y| 时取到最大值，将 |x|=|y| 代入 x^2+y^2=4 ，

解得 x=±√2 ，y=±√2 ，但这时 x 实际上并没有取到真正的最大值 x=2 。

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学习一下,不等式的细节.

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提示：令x=a+b，y=a-b，代入x^2+xy+y^2=3(x+y+3)中，会得到一个不含交叉项的椭圆方程，再把该方程参数化，将求x^2+y^2的 最值转化为求2（a^2+b^2） 的最值即可。如果没有算错的话：2≤x^2+y^2≤27。