无穷连分数 1+1/(2+1/(3+1/(4+1/(5+…)))) 是不是等于 √2 ？

永远

请问这个无穷连分数是不是等于根号2？

luyuanhong

题  无穷连分数 1+1/(2+1/(3+1/(4+1/(5+…)))) 是不是等于 √2 ？

解

1+1/2 = 3/2 = 1.5

1+1/(2+1/3) = 10/7 = 1.428571428…

1+1/(2+1/(3+1/4)) = 43/30 = 1.433333333…

1+1/(2+1/(3+1/(4+1/5))) = 225/157 = 1.433121019…

1+1/(2+1/(3+1/(4+1/(5+1/6)))) = 1393/972 = 1.433127572…

1+1/(2+1/(3+1/(4+1/(5+1/(6+1/7))))) = 9976/6961 = 1.433127424…

1+1/(2+1/(3+1/(4+1/(5+1/(6+1/(7+1/8)))))) = 81201/56660 = 1.433127426…

    可以看出，这个连分数并不等于√2 = 1.414213562… 。

elim

令\(\;x\small=1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{4+\cdots}}}=1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3+\lambda}},\,\)则\(\,\lambda > 0.\)

\(\because\;\;\small\dfrac{1}{3+\lambda}<\dfrac{1}{3},\quad\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3+\lambda}}>\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3}}\)

\(\therefore\;\;x{\small = 1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3+\lambda}}>1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{10}{7}>}\,\sqrt{2}.\;\;\boxed{x\ne\sqrt{2}}\)

永远

楼上已经说明大于啦，可否直接计算出

doletotodole

这个模糊印象是欧拉还是高斯算过, 只能表达为级数,求不出精确值. 可能是世界难题? 楼主靠你了.

永远

luyuanhong 发表于 2020-8-19 23:34
题  无穷连分数 1+1/(2+1/(3+1/(4+1/(5+…)))) 是不是等于 √2 ？

解

陆老师可否完善相关基础理论知识？


（图片中是转载可能有瑕疵）

另一个图片中是相关连分数的的类似话题，可否赐教


考虑再三一个星期，还是分享出来，前几年e老师拒绝分析，今年还是一样，看来还是算了