级数比值判别法的证明为什么要用比较判别法？

wufaxian

下图可见在证明比值判别法的过程中使用了比较判别法。但是看后觉得使用比较判别法似乎有绕路的“嫌疑”


以上的思路从后向前简述如下：
  因为 |r|<1
  所以  求和Cn 收敛
  因为  an<Cn
  所以 求和 an< 求和Cn
  根据比较判别法的原理，求和Cn收敛 可知 求和an也收敛。

那以上证明是否可以直接写成：
  当n>=N 时      
所以 求和an=a1+a2+a3+…………+aN-1+aN+p*aN+p^2*aN+……
                   =a1+a2+a3+…………+aN-1+aN*（1+p+p^2+……）

   因为|p|<1，所以求和an收敛。


何必要引出cn来，假cn之手来证明an收敛呢？
  

luyuanhong

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-8-24 08:10

谢谢老师回复。如果最后一步：
n趋于oo  求和an=a1+a2+a3+…………+aN-1+aN+p*aN+p^2*aN+……
                          =a1+a2+a3+…………+aN-1+aN*（1+p+p^2+……）
无需小于，只要等于就可以。那么第二个等号是收敛的（因为p<1）。进而就推出an是收敛的。这中间有什么错误么？

luyuanhong

“等于” 也不可能，我上面已经给出了它们的关系总是 “大于” 。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-8-24 14:19
“等于” 也不可能，我上面已经给出了它们的关系总是 “大于” 。

明白了