半径为 4,9,16 的三球面两两外切，与三球面都相切的两个平面的锐夹角为 θ，求 cosθ

wintex · 发表于 2020-9-5 21:58

請問幾何

ccmmjj · 发表于 2020-9-7 20:01

这个问题是考老师的吧？如果是考学生的，怕是太难。
做法是这样的：先求一个切面上的切点三角形面积S1,然后除以球心三角形的面积S，即得cosφ=S1/S,
而θ=2φ或θ=π-2φ，可以通过倍角公式cosθ=|2(cosφ)^2-1|求出来。
球心三角形的边长可以从三半径之间和得到，切点三角形边长可用直角梯形求直角腰得到，分别是两半径的算术平方根的2倍，面积可分别用海伦公式计算得到。

wintex · 发表于 2020-9-8 19:06

ccmmjj 发表于 2020-9-7 20:01
这个问题是考老师的吧？如果是考学生的，怕是太难。
做法是这样的：先求一个切面上的切点三角形面积S1,然 ...

請問老師，可以再詳細一點嘛？謝謝。

波斯猫猫 · 发表于 2020-9-8 21:44

本帖最后由波斯猫猫于 2020-9-8 21:46 编辑

三个球A、B、C分别切于平面α于三点D、E、F，不妨令AD=4、BE=9、CF=16，易算得球心三角形ABC的边长为13、20、25，切点三角形DEF的边长为12、16、24，后者是前者在平面α上的正射影。先求一个切面上的切点三角形面积S1,然后除以球心三角形的面积S，即得cosφ=S1/S（2楼的这个结论是一个公式）,平面ABC是与三球面都相切的两个平面所成二面角的平分面。

2楼的“.....分别是两半径的算术平方根的2倍,......”???

luyuanhong · 发表于 2020-9-8 22:54

ccmmjj · 发表于 2020-9-9 07:47

本帖最后由 ccmmjj 于 2020-9-8 23:48 编辑

波斯猫猫发表于 2020-9-8 13:44
三个球A、B、C分别切于平面α于三点D、E、F，不妨令AD=4、BE=9、CF=16，易算得球心三角形ABC的边长为13、20 ...

12是4，9的算术平方根积的两倍，16是4，16的算术平方根积的两倍，24是9，16的算术平方根积的两倍。原贴少了个积字。

luyuanhong · 发表于 2020-9-9 10:37

楼上 ccmmjj 的解法思路很好！下面是根据这一思路的详细解答过程：

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半径为 4,9,16 的三球面两两外切，与三球面都相切的两个平面的锐夹角为 θ，求 cosθ

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