D,E 分别是 AB,AC 上两点，延长 DE,BC 交于 F，已知 AD=2DB，SΔABC=SΔECF，求 CF:BC

myyour

陆老师、王老师解得太精彩了。我尝试让k＝2/3时，x/y的值也是有理数2。数学之美，令人陶醉。

王守恩

luyuanhong 发表于 2020-9-20 08:49
当 AD：DB=k：1 时，可以求得 CF：BC=x：y=[k+1+√(k^2+6k+1)]/2 ，就是楼上王守恩得到的结果。

特别， ...

继续。

\(记三角形ABC的三条边为a,b,c\)
\(p是三角形ABC内的点，过p作角分线交a,b,c于D,E,F\)
\(BC=a=BD+DC=a_1+a_2\)
\(CA=b=CE+EA=b_1+b_2\)
\(AB=c=AF+FB=c_1+c_2\)

\(我们恒有：\)
\(\frac{a_1*b_1*c_1}{a_2*b_2*c_2}={1}\)
\(或：\)
\(\frac{S_{a1}*S_{b1}*S_{c1}}{S_{a2}*S_{b2}*S_{c2}}={1}\)

王守恩

myyour 发表于 2020-9-21 17:34
陆老师、王老师解得太精彩了。我尝试让k＝2/3时，x/y的值也是有理数2。数学之美，令人陶醉。

记三角形ABC的三条边为a,b,c
P是三角形内的点，过P作角分线交c,b,a于D,E,F

我们可以有(至少)：

\(\frac{AD*BF*CE}{AE*BD*CF}=1\ \ \ \frac{\sin∠PAB*\sin∠PBC*\sin∠PCA}{\sin∠PAC*\sin∠PCB*\sin∠PBA}=1\)

\(\frac{PD*FC*AB}{PC*FB*AD}=1\ \ \ \frac{PD*EC*BA}{PC*EA*BD}=1\ \ \ \frac{PE*DB*CA}{PB*DA*CE}=1\)

\(\frac{PE*FB*AC}{PB*FC*AE}=1\ \ \ \frac{PF*EA*BC}{PA*EC*BF}=1\ \ \ \frac{PF*DA*CB}{PA*DB*CF}=1\)

\(\frac{\sin∠FAB*AB*FC}{\sin∠FAC*AC*FB}=1\ \ \ \frac{\sin∠PAB*AB*PE}{\sin∠PAE*AE*PB}=1\ \ \ \frac{\sin∠PAD*AD*PC}{\sin∠PAC*AC*PD}=1\)

\(\frac{\sin∠EBA*BA*EC}{\sin∠EBC*BC*EA}=1\ \ \ \frac{\sin∠PBA*BA*PF}{\sin∠PBF*BF*PA}=1\ \ \ \frac{\sin∠PBD*BD*PC}{\sin∠PBC*BC*PD}=1\)

\(\frac{\sin∠DCA*CA*DB}{\sin∠DCB*CB*DA}=1\ \ \ \frac{\sin∠PCA*CA*PF}{\sin∠PCF*CF*PA}=1\ \ \ \frac{\sin∠PCE*CE*PB}{\sin∠PCB*CB*PE}=1\)