(1+1/u)^0.5 的麦克劳林级数展开为什么不是 1 ？

wufaxian

(1+1/u)^0.5的一阶导数


二阶导


三阶导




可见各阶导数展开的每一项都有u的乘积项，因此u=0的时候这些导数的值应该都是0才对啊。可是(1+1/u)^0.5的二项式级数展开的前四项答案确是（图中的x就是上述图片的u变量。）：



怎么除了第一项以外，后面几项不为零呢？按理说后面各阶导数都为0。对应的麦克劳林展开各项也应该同样为0才对。

用sage做麦克劳林级数展开，结果是：


sage代码：
u = var('u')
latex(taylor((1+(1/u))^(0.5),u,0,4))

luyuanhong

在一个函数的麦克劳林展开式中，只会出现变量的 0 次项、一次项、二次项、三次项、…… ，

不会出现变量的负整数次项，更不会出现变量的分数次项。

所以，书上写出的级数 “ 1+1/(2x)-1/(8x^2)+1/(16x^3)-…”，显然

并不是  √(1+1/x) 的麦克劳林级数展开式。我估计它是这样得到的：

先求 √(1+u) 的麦克劳林级数展开式，得到 √(1+u)=1+u/2-u^2/8+u^3/16-… 。

再用 1/x 代入 上式中 u 的位置，得到 √(1+1/x)=1+1/(2x)-1/(8x^2)+1/(16x^3)-… 。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-9-17 16:49
在一个函数的麦克劳林展开式中，只会出现变量的 0 次项、一次项、二次项、三次项、…… ，

不会出现变量 ...

谢谢lu老师的回复。原题目的要求是求出函数二项式级数的前四项。我认为二项式级数就是麦克劳林级数的一种特例。所以我在提问的时候问的是麦克劳林级数展开。不知道上述看法是否正确？


其次，你通过换元求出的麦克劳林级数展开，确实与答案一致。这也说明√(1+1/x)的答案应该就是√(1+1/x)=1+1/(2x)-1/(8x^2)+1/(16x^3)-

那么按理说基于定义直接去求出的二项式级数应该与上述通过换元法得出的答案一致才对。可是如同原帖所述，各阶导数都为0.那么显然得不到上述答案。那么究竟错在哪里了呢？

        或者是否能得出结论。自变量是分数形式的函数就不能用麦克劳林级数的定义那样展开，必须用换元法。至于说为什么，则超出了微积分授课范围?