大立方体由125个单位立方体组成，垂直平分大立方体对角线的平面与几个单位立方体相交?

wintex

請問幾何

luyuanhong

小fisher

以立方体中心为原点，小立方体棱长为坐标单位建立三维坐标系，则125个小立方体中心坐标(x,y,z)满足x,y,z∈{-2,-1,0,1,2}
设题中所述立方体对角线的方程为x=y=z，则垂直平分该对角线的平面p的方程为x+y+z=0
小立方体与平面相交的充要条件是小立方体有两顶点分别处于平面两侧
考察小立方体上连线垂直于平面p的两顶点即(x-0.5, y-0.5, z-0.5)和(x+0.5, y+0.5, z+0.5)，只要(x-0.5)+(y-0.5)+(z-0.5)<0且(x+0.5)+(y+0.5)+(z+0.5)>0，即小立方体中心坐标(x,y,z)满足-1.5<x+y+z<1.5，则说明小立方体与平面p相交。
x+y+z之和为-6,-5,-4,-3，-2的小立方体个数分别对应杨辉三角各行第三个数字1,3,6,10,15,共计35个; 同理x+y+z之和为6,5,4,3,2的小立方体个数也为35个; 所以满足-1.5<x+y+z<1.5的小立方体个数为125-35-35=55个。

luyuanhong

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小fisher

王守恩
大立方体由125个单位立方体组成，垂直平分大立方体对角线的平面与几个单位立方体相交?“125”可以改“64”吗？

如果改成64的话，小立方体的中心坐标(x,y,z)满足x,y,z∈{-1.5,-0.5,0.5,1.5}，x+y+z的取值范围是{-4.5, -3.5, -2.5, -1.5, -0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5}，对应的小立方体个数分别是{1,3,6,10,12,12, 10,6,3,1}，其中24个小立方体与平面相交（-1.5<x+y+z<1.5），另有20个小立方体与平面只有一个交点（|x+y+z|=1.5)。