已知实数等差数列 {an} 满足 a1^2+a10^2=10 ，求 a10+a11+…+a19 的最大值

wintex

請問數列

波斯猫猫

思路：把a1^2+a10^2=10 和s= a10+a11+…+a19都用首项a1和公差d表出，再将后者中的d用s和a1表出，并代入前者消去d，得到一个关于a1的二次方程，即可解决问题。

luyuanhong

hannah8201

三角换元不是更容易操作且更容易想到的解法？

小fisher

hannah8201 发表于 2020-9-25 02:09
三角换元不是更容易操作且更容易想到的解法？

由于a1^2+a10^2=10，可设a1=√10sinA，a10=√10cosA。
由等差数列性质可得a19=2a10-a1
S=a10+a11+…+a19 =5(a10+a19)=5√10(3cosA-sinA)
设cosB=3/√10，则sinB=1/√10
S=5√10(3cosA-sinA)=50(cosAcosB-sinAsinB)=50cos(A+B)≤50

luyuanhong

楼上 小fisher 的解答也很好！已收藏。

doletotodole

两种解法, 学习了, 我抄下来了.

谢谢各位大佬的精彩演绎.

doletotodole

好题, 条件的充分利用可以得出不同结果.

王守恩

\(1，已知a^2 + (a + 9 d)^2 = 10，求(10 a + 135 d)最大值。\)
Maximize[{10 a + 135 d, a^2 + (a + 9 d)^2 == 10}, {a, d}]
{50, {a -> -1, d -> 4/9}}
\(2，已知a^2 + (a + 9 d)^2 = 10，求(10 a + 135 d)最小值。\)
Minimize[{10 a + 135 d, a^2 + (a + 9 d)^2 == 10}, {a, d}]
{-50, {a -> 1, d -> -(4/9)}}

doletotodole

这个题目,我认真算了几遍, 确实好题.

还可以用柯西不等式, 由S=15a10-5a1 推出 S^2 <= (15^2 + (-5^2) ) x (a10^2 + a1^2) 也就是S^2<= 2500.

不过这个不等式依然没有解方程那么精确.