三等分任意角

bua1s2d3

bua1s2d3 发表于 2025-10-4 07:01
2025年上海书展的书架上有一本书， 书名是《伽罗瓦——智性与激情(数学家传记丛书)》  上海科学技术出版 ...

在李尚志的“李尚志：关于百家争鸣的对话”这一网络文章中，关于”三等分任意角“的讨论，李尚志是这样教训刘培杰数学工作室的编辑的：

【哈工大有个游宏教授是懂行的】【你还是可以请教他】

【如果觉得他们的权威性不够，就去请教中科院或北京大学的专家】

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现在看一看哈工大的游宏教授在关于”三等分任意角“的讨论中有什么说法。

有一本书的书名是《代数学》    科学出版社出版发行   作者是游宏 和刘文德  

              （P276）

这里讲述Galois理论章节中的尺规作图部分。

例 7.6.3（三等分角）

【cos α = cos(3θ) = 4( cosθ )^3-3( cosθ)】

【令cos α =a/2  ，cos θ=x/2 】

【即    x^3-3x-a=0】

【取  α =π/3. 那么a=1.】

【但 x^3-3x-1】

【（即x）不能用尺规作出】

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【取  α =π/3. 那么a=1.】---------也就是说，cos （π/3）=cos60° =1/2  。

观察cos60° =1/2 这个等式。可以看到， 数cos60°  依照1/2 这一数学结构的身份参与了方程x^3-3x-1=0的讨论。

那么，方程x^3-3x-1=0中的根x是不是也应该被展示相应的数学结构，以供读者识别根x是否可能用尺规作出？

很遗憾，游宏作者和刘文德作者没有告诉读者。所以根x是一个神秘的数。

游宏作者和刘文德作者用一个神秘的数（根x）的身份判断：“【（即x）不能用尺规作出】”。

  这些内容希望李尚志能够满意。

bua1s2d3

有李尚志的数学导师-----------曾肯成。

一个介绍是：【例如，讲《抽象代数》时，他（ 曾肯成）从三等分角、五次方程求根公式这样有名而又有趣的故事开始； 】

有范德瓦尔登 著作的《代数学Ⅰ》一书，丁石孙、曾肯成和郝鈵新翻译，万哲先校注  科学出版社出版。

（P185-----P187）

8.9 圆规与直尺作图

【逆定理   如果线段x 可以由已知线段a，b，.......用圆规与直尺作出，那么x 就可以由a，b，.......经有理运算与平方根表示。】

【利用关系   cos(3φ ) = 4( cosφ )^3-3( cosφ )】

【化成解方程   4x^3-3x=α          {α=cos(3φ )}】

【在什么时候元素x可以由已知元素a，b，.......通过有理运算与平方根表示？】

【我们已经看到，三等分角的问题化成方程   4x^3-3x-α=0    这里α是不定元。】

【三等分角不能用圆规与直尺来作】

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比较{α=cos(3φ )}与（cosφ=x）。

显然{α=cos(3φ )}中的α作为“已知线段a，b，.......”这样的元素参与了“方程 4x^3-3x-α=0  ”的讨论。

作为“方程 4x^3-3x-α=0  ”求解的结果“根x”应该怎么样去体现“在什么时候元素x可以由已知元素a，b，.......通过有理运算与平方根表示”？或者是不可能？

在“方程 4x^3-3x-α=0  ”中，α是元素，根x也是元素。根x长什么样子，讨论中没有给出。所以根x是一个神秘的数。

也就是说，“三等分角不能用圆规与直尺来作”这个结论是用一个神秘的数“根x”给出的。

这样的“故事”真的是很有趣！