三等分任意角

王会森

我在前面发布了一个轮幅三等分角图形，没有给出证明，大家可以随便证明这个图形的正确性或不正确性。

物理的，可以想像，分别从两个同弦圆心角的圆心向圆弧方向发射光线并且都分别以固定的角速度转动扫过圆弧，三倍角的角速度是每秒3度，一倍角的角速度是每秒1度。这样，两束光线的交点必定始终在三倍角所对应的圆弧上［没有使用圆规，图形上没有圆弧］［分别以角速度为被除数，以（三倍角或一倍角）为除数，得到两个相等的比值，在这个意义上，两束光线的角速度是相等的］。因此，对于尺规作图，当三倍角和一倍角和三倍角的圆弧及其三等分线都出现后，我们立即就可以知晓一倍角的三等分线在哪里，并且可以立即把它画出来。

王会森

特别指出：一倍角指的是角A,三倍角指的是角BEC.

这个图片回避了正弦余弦三倍角公式。

bua1s2d3

2024年上海书展中展示了北京大学出版社出版的《几何之美》一书，作者是黄家礼和戴中元。还展示了上海教育出版社出版的《几何明珠》一书，作者是黄家礼。
在《几何之美》和《几何明珠》两书中都提到了一个内容：“可作图数”。
黄家礼作者把数分成超越数和代数数两大类。
黄家礼作者又从代数数这一大类中列出了“可作图数”和有理数两个小类。也就是说：【“可作图数”不是超越数。代数数也不全是“可作图数”。有理数则一定是“可作图数”。】。黄家礼作者把“可作图数”划定了相应的范围。
黄家礼作者用“可作图数”，与几何问题中的“尺规作图”相联系。这也就是所谓的“几何问题代数化”。
不知道黄家礼作者有没有想过：“尺规作图”二等分一任意角这一几何内容，会怎么样对“可作图数”作相应的范围的划定？
除了“尺规作图”二等分一任意角，还有“尺规作图”四等分一任意角，...........等等。
所以，当有人在讨论“尺规作图”三等分一任意角的时候，也要想到在“尺规作图”二等分一任意角时，黄家礼作者所划定的“可作图数”会有什么用？
继续讨论尺规作图”三等分一任意角，会有新的内容出现，有些新的内容一定会进入数学教材中去的。

bua1s2d3

摘录一些内容。
《李尚志老师的发言总是充满着睿智的思想，什么是抽象？就是管得宽。算一次顶无穷多次》-------这是文章的标题。
（李尚志 GeoGebra与数学深度融合 2024年12月08日 21:59 广东）

【李尚志老师的发言总是充满着睿智的思想，扎实的理论功底，和深邃的见解，金句我都给抄下来了】
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   【我觉得：大学数学对中学指导作用最大的不是微积分，而是抽象代数。什么是抽象代数？就是用运算律推出全部代数。抽象代数上管天，下管地，中间管空气。上管天是攻克难题：三等分角为什么不能尺规作图，五次方程为什么没有求根公式。这是挖了民科的祖坟。下管地就是从小学到中学的算术和代数的公理定理算法都是运算律推出来的，这是挖了“不完全归纳法”的祖坟。中间管空气，就是主宰了密码编码理论。】

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尺规作图三等分角的讨论会继续不断。

bua1s2d3

2024年1月 ，由哈尔滨工业大学出版社刘培杰数学工作室出版了王方汉编著的《数苑漫步》

其中有关于三等分角的讨论：

p 54 页

（2）三等分任意角问题。

不妨设已知角 3θ= 60°， 由三倍角公式， 有

cos(3θ) = 4( cosθ )^3-3( cosθ)=1/2

令 cosθ= x 就有 8x^3-6x-1=0

由代数知识知，此方程没有有理数根，也没有只含开平方符号且没有高次开方符号的无理数根，这说明不能用尺规三等分此角。对60°角尚不可能，对一般角就更不可能了。

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作为比较。

假如解一个方程：

x^3=8

如果想判断： 方程 x^3=8 其中有一个根是整数，也是偶数 。需要做什么工作？

例如列出像（x=2）这样的根与未知元相关联的表达形式也许是最方便的。因为根2就是整数，也是偶数 。

王方汉列出方程 8x^3-6x-1=0后。就直接给出了“由代数知识知，此方程没有有理数根，也没有只含开平方符号且没有高次开方符号的无理数根”这么一说。

“由代数知识知，此方程没有有理数根，也没有只含开平方符号且没有高次开方符号的无理数根”这一说法的合理性理应体现在“根与未知元相关联的表达形式”上。 可是在王方汉关于三等分角问题的论述中找不到这些内容。这是为什么？

让人引起思考的是：王方汉关于三等分角问题的论述合理性体现在什么地方？

bua1s2d3

有《近世代数初步》一书，作者是徐竞和徐明曜，北京大学出版社出版，书的封面也标明了“21世纪数学规

划教材·数学基础课系列”这样的文字。

在 P238 中有这样的内容：

【数学史上著名的三大几何作图不能问题】

【我们在本节要达到的目的是分析能用尺规作图解决的问题有哪些特征，从而严格证明上述三个问题是不能

用尺规作图来解决的。】（近世代数初步  徐竞  徐明曜 P238  北京大学出版社 21世纪数学规划教材·数学基

础课系列）

现在观察课文中相关的“严格证明”
。
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三大几何作图不能问题的分析

（1）倍立方体问题：

【..................所求立方体边长为³√2（立方根号2）。】

（2）三等分角问题：

【我们以60°角为例..................。】

【..................cos(3θ) = 4( cosθ )^3-3( cosθ)，以θ= 20°代入，得到（1/2）= 4( cos20° )^3-3( cos20°)，】

【即 cos20°满足方程4( x)^3-3(x)=（1/2）。】

【知20°不能用尺规作图得到。】

（3）化圆为方问题：

【用尺规作图方法作出边长为√π的正方形。】

（近世代数初步  徐竞  徐明曜  P241--- P242    北京大学出版社 21世纪数学规划教材·数学基础课系列）

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显然，“严格证明”中出现了（1）³√2、【（立方根号2）】（2）cos20° 和（3）√π三个数。

数³√2（立方根号2）表明了有理数在开立方，数√π表明了超越数在开平方。

只是数cos20°没有表明什么数在开什么次方。

还有，“三等分角问题”中有（1/2）这个数，数（1/2）与cos60° 相对应，也就是cos60°=（1/2）。

同样，数cos20°也没有可以像cos60°=（1/2）那样等式的表明。或者说，数cos20°可以等于什么以及应该等于什么。

所以，数cos20°是一个神秘的数。

在《近世代数初步》的课文中，作者徐竞和徐明曜以神秘的数cos20°为依据，“严格证明”了【知20°不能用尺规作图得到。】。

继续关心“三等分角问题”的讨论，这里有中国需要的数学基础内容。

李利浩

我有一个方法，能用尺规将一个角三等分，135度角。
1，将135度角的底边用直尺延长，使其成为180度角。
2，用圆规将180度角平分，使其成为两个90度角。
3，用圆规将90度角平分，使其成为两个45度角。
很多年前，我就在思考一个问题，为什么用圆规能够将任意角二等分？思考的结果是，只要现实中存在的角，都能被2除尽。

李利浩

何为现实中存在的角呢？
存在一个最小单位，而这个最小单位不是无尽小数，且存在的这个角大小也是最小单位的整数倍。

李利浩

欢迎各位对于我上面的看法提出见解！

bua1s2d3

bua1s2d3 发表于 2025-8-14 08:19
有《近世代数初步》一书，作者是徐竞和徐明曜，北京大学出版社出版，书的封面也标明了“21世纪数学规

划 ...

2025年上海书展的书架上有一本书， 书名是《伽罗瓦——智性与激情(数学家传记丛书)》  上海科学技术出版社出版。

书中有“推荐序”一文，作者是李尚志。

在李尚志的“推荐序”文中有：【类似于现在还有很多“民科”还痴迷于三等分角】这么一说。

那么，不是“民科”的李尚志在同一篇“推荐序”的文中是怎么论述三等分角的？

1）【伽罗瓦的理论不但彻底解决了求根公式问题。还彻底解决了古希腊留下的尺规作图难题，包括三等分任意角、立方倍积、化圆为方、正多边形。立方倍积就是作正方体体积等于已知正方体体积的2倍，也就是作方程x^3=2的根³√2【（立方根号2）】。化圆为方是作正方形面积等于已知圆面积，也就是作方程x^2=π的根√π。】

2）【伽罗瓦理论证明了三等分任意角、立方倍积、化圆为方都不能尺规作图。】

3）【三等分任意角是解三次方程，根的维数是3，不整除（2^n）,因此不能作。立方倍积作方程x^3-2=0的根，左边在有理数范围内不能分解，维数也是3，也不能作。化圆为方是作方程x^2-π=0的根，π不是有理系数代数方程的根，不是代数数而是超越数，更加不可作。】

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不是“民科”的李尚志在同一篇“推荐序”的文中也有其他的表述。

【到16世纪初，意大利数学家费罗（Ferro）发现了三次方程的求根公式】

【不久，塔尔塔利亚（Tartaglia）也发现了三次方程求根公式】

【卡丹（Cadano）于1545年（如今称卡丹公式）】

比照李尚志“三等分任意角是解三次方程，根的维数是3，不整除（2^n）,因此不能作。”的这句话。

李尚志完全应该列出与三等分任意角相关的三次方程，并且求出该方程的根。让这个被求出的该方程的根像x=³√2【（立方根号2）】和  x=√π一样，表明它是什么样的数以及它在开什么次方。在这个基础上，再去确定三等分任意角是否可能由尺规作图作出。但是李尚志没有给出这些内容。李尚志简单地给出了“三等分任意角是解三次方程，根的维数是3，不整除（2^n）,因此不能作。”这句话。这是为什么？求出与三等分任意角相关的根有那么神秘吗？

李尚志用神秘的根为依据，论述他人是“民科”，痴迷于三等分角。这不是很搞笑的吗？