下坡抛小球，选什么角度抛的最远？（向量建模题）

wufaxian

请看上图，我的思路是写出OR上的速度分量Vor，其表达式由初速度V0；角度阿尔法；角AOR，这一步已经做到了！
再求出时间t的表达式，其中包含角度阿尔法；角AOR，
下倾射程OR最后写成Vor*t的表达式，其中只包含：初速度V0；角度阿尔法；角AOR。由于三角函数容易找到定义域内的最大值。于是就可以求得射程OR最大值时所对应角度阿尔法；角AOR的比例关系了。

但是“ 时间t的表达式，其中包含角度阿尔法；角AOR，”这一步没有实现！
目前已经可以写出纵向速度分量Vz的表达式。其中包含V0和角阿尔法。
如果是平地抛球，只需要Vz*t-0.5gt^2=0，求出t就得到落地时间了。但是现在并不是纵向位移等于0就落地了，由于是下坡，会存在负的纵向位移。因此应用上述方法就无法求出球落地时间了。于是就得不到落地时间t的表达式了！！！！


还请老师给个解题思路。

天山草@

我来做一下 25(a) 即第一问。
以 O 点为直角坐标系原点，OA 方向即为 y 轴，O 点向右的射线为 x 轴。设 R 点为落地点，∠AOR=φ 为给定角。当初速 V0 确定后，我们要证明当初速度向量恰好是 φ 角的平分线时，抛物距离 OR 将达到最远。
      


用 mathematica 软件求解，得到所抛物体的飞行时间（落地时间）如下：



将此时间代入 x(t) 和 y(t) 中，得到落点到坐标原点的水平距离 RX 和垂直距离 RY，于是即可求出 OR 的长度：



把上面这个结果化简，得到：



由上述公式可知，只有当 | cosφ -  cos (2α - φ) | 达到最大时，OR 才能最大。由于 cosφ 是一个负数，它与 -cos (2α - φ) 相加要得到绝对值最大的负数，必须 -cos (2α - φ)=-1，也就是  cos (2α - φ)=1。于是 2α - φ=0，即 α = φ/2。

天山草@

举一个例子。假定初速度为每秒 10 米，∠AOR=φ=136°，重力加速度 g 取 9.8。
则当 α=136/2=68°时，OR 达到最大，为 36.3574米。当  α 为其他数值时，OR 的长度如下图所示：

永远

人造卫星是不是这个原理

天山草@

接下来看看 25(b) 即第二问。
当人在山坡下往山坡上抛物时，如何抛得最远？
结论是与前面相同，即: 初速度向量与山坡间的夹角 α 等于竖直方向与山坡间的夹角 φ 的一半时，抛得最远。这是因为，第一：在这种情况下，初速度向量与水平线之间的夹角 θ 的表达式跟前面的那个是一样的，见下图：



第二： 山坡的直线方程是 y=tan(π/2-φ)*x，这个表达式也跟前面那个一样。
由于这两点，最终结论与前面相同。

天山草@

如果山坡转化为平地，那么抛射角等于 45° 时抛得最远。这个知识是我们在初中时学到的，这种情况是本问题的一个特例。

天山草@

解答这个问题的物理原理是“运动的独立性”原理。即：运动的独立性原理又称运动的叠加性原理，是指一个物体同时参与几种运动，各分运动都可看成独立进行的，互不影响，物体的合运动则视为几个相互独立分运动叠加的结果。分运动和合运动之间具有:独立性、等时性、矢量性、同体性。它的下位概念是振动的叠加原理、波的叠加原理、电场强度的叠加原理。
在本例中，抛射体出手后在水平方向上不再受到外力作用，因此它在这个方向上将保持原有的初速度分量一直运动下去。