极坐标曲线r=1+cos(θ) 在0-2pi的曲线长度是0？

wufaxian

先贴个例题的图做一下铺垫。箭头所指就是极坐标下求曲线长度的公式。



本题：r=1+cos(θ) 在0-2pi的曲线长度和上方例题相比仅仅就是减号变加号了。

代入公式进行积分。解析解如下



代入积分上下界2pi 和0 计算结果等于0 。 可是答案显示是8.  从下方图形来看，这个函数的极坐标图像与例题的图是左右对称 。按理说周长的确应该是8.问题是我错在哪里了？

peng202705

绝对值符号不能去掉！或者说去掉时要分0到pi和pi到2pi讨论

wufaxian

peng202705 发表于 2020-10-9 09:15
绝对值符号不能去掉！或者说去掉时要分0到pi和pi到2pi讨论

非常感谢你精准的指出了我的错误，我感到受益匪浅。
我发现用sage去解类似(2+2cos(θ))^0.5 这样的不定积分。会存在两个问题，
1、直接求(2+2cos(θ))^0.5的不定积分。会给出一个很奇怪的结果。代入0，2pi的积分上下限会得到一个错误的答案
2、从abs(2*cos(θ/2))，这一步开始求不定积分。则不会得到正确分段的解析解。sage只会给出这一步的积分表达式。求数值解，也是只给积分表达式
3、如果直接去掉abs符号。求解析解。不会得到“分段”的积分解析解，只会得到一个正值，负值被忽略了！！！
     代入0  2pi的积分上下限求数值解。则会直接得到错误答案0。而不会得到正确答案8

不知道你是否了解在使用相关数学软件时是否有相关步骤，可以避免上述错误得到正确计算结果。

peng202705

这个确实不会，同求