在 ΔABC 中，cosA=4cosC，sinC=3√21/14，ΔABC 的周长为 5+√7，求 ΔABC 的面积

myyour

解三角形

王守恩

\(\sin(C)=\frac{3\sqrt{21}}{14}=\sqrt{\frac{189}{196}}\ \ \ \ (1)\)
\(\cos(C)=\sqrt{1-\bigg(\sqrt{\frac{189}{196}}\bigg)^2}=\sqrt{\frac{7}{196}}\)
\(\cos(A)=4\cos(C)=4\sqrt{\frac{7}{196}}=\sqrt{\frac{112}{196}}\)
\(\sin(A)=\sqrt{1-\bigg(\sqrt{\frac{112}{196}}\bigg)^2}=\sqrt{\frac{84}{196}}\ \ \ \ (2)\)
\(\frac{\sin(A)}{\sin(C)}=\frac{\sqrt{\frac{84}{196}}}{\sqrt{\frac{189}{196}}}=\frac{\sqrt{84}}{\sqrt{189}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{21}}=\frac{2}{3}\)
\(a+b+c=5+\sqrt{7}=2+\sqrt{7}+3\)
\(\cos(B)=\frac{2^2+3^2-7}{2×2×3}=\frac{1}{2}\ \ \ \ B=60°\)
\( ΔABC 的面积=\frac{2×3\sin(60°)}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

luyuanhong

楼上 王守恩 的解答很好！已收藏。

王守恩

王守恩 发表于 2020-10-10 11:22
\(\sin(C)=\frac{3\sqrt{21}}{14}=\sqrt{\frac{189}{196}}\ \ \ \ (1)\)
\(\cos(C)=\sqrt{1-\bigg(\sqrt{\ ...

凭的是对数字的灵感(结合\(\cos(B)\)也是唯一的)。
要不，修正一下。

\(\sin(C)=\frac{3\sqrt{21}}{14}=\sqrt{\frac{27}{28}}\ \ \ \ (1)\)
\(\cos(C)=\sqrt{1-\bigg(\sqrt{\frac{27}{28}}\bigg)^2}=\sqrt{\frac{1}{28}}\)
\(\cos(A)=4\cos(C)=4\sqrt{\frac{1}{28}}=\sqrt{\frac{16}{28}}\)
\(\sin(A)=\sqrt{1-\bigg(\sqrt{\frac{16}{28}}\bigg)^2}=\sqrt{\frac{12}{28}}\ \ \ \ (2)\)
\(\sin(B)=\sin(C+A)=\sqrt{\frac{27}{28}}\sqrt{\frac{16}{28}}+\sqrt{\frac{1}{28}}\sqrt{\frac{12}{28}}=\sqrt{\frac{21}{28}}\ \ \ \ (3)\)
\(\sin(A):\sin(B):\sin(C)=\sqrt{\frac{12}{28}}:\sqrt{\frac{21}{28}}:\sqrt{\frac{27}{28}}=2:\sqrt{7}:3=a:b:c\)
\(即：a+b+c=5+\sqrt{7}=2+\sqrt{7}+3\)
\( ΔABC 的面积=\frac{2×3\sin(B)}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)