这个比值最大是多少？

王守恩

1个三角形(形状任意)，里面有6个圆(大小任意)。
6个圆面积和：三角形面积，比值最大是多少？

王守恩

问题(1)：三角形内放1个圆,圆与三角形面积比=k,求k最大值
NMaximize\(\bigg[\frac{\big(1+\frac{3a(1-a^0)}{1-a}\big)\pi}{\cot^2(\theta)\tan(2\theta)},\ \frac{\pi}{2} >\theta> 0, \ \ \theta\ \bigg]\)

问题(2)：三角形内放2个圆,圆与三角形面积比=k,求k最大值
NMaximize\(\bigg[\frac{\big(1+\frac{b(1-b)}{1-b}+\frac{2c(1-c^0)}{1-c}\big)\pi}{\cot^2(\theta)\tan(2\theta)},\ \frac{\pi}{2} >\theta> 0, \ \ \theta\ \bigg]\)

问题(3)：三角形内放3个圆,圆与三角形面积比=k,求k最大值
NMaximize\(\bigg[\frac{\big(1+\frac{2c(1-c)}{1-c}+\frac{b(1-b^0)}{1-b}\big)\pi}{\cot^2(\theta)\tan(2\theta)},\ \frac{\pi}{2} >\theta> 0, \ \ \theta\ \bigg]\)

问题(4)：三角形内放4个圆,圆与三角形面积比=k,求k最大值
NMaximize\(\bigg[\frac{\big(1+\frac{3a(1-a)}{1-a}\big)\pi}{\cot^2(\theta)\tan(2\theta)},\ \frac{\pi}{2} >\theta> 0, \ \ \theta\ \bigg]\)

问题(5)：三角形内放5个圆,圆与三角形面积比=k,求k最大值
NMaximize\(\bigg[\frac{\big(1+\frac{b(1-b^2)}{1-b}+\frac{2c(1-c)}{1-c}\big)\pi}{\cot^2(\theta)\tan(2\theta)},\ \frac{\pi}{2} >\theta> 0, \ \ \theta\ \bigg]\)

问题(6)：三角形内放6个圆,圆与三角形面积比=k,求k最大值
NMaximize\(\bigg[\frac{\big(1+\frac{2c(1-c^2)}{1-c}+\frac{b(1-b)}{1-b}\big)\pi}{\cot^2(\theta)\tan(2\theta)},\ \frac{\pi}{2} >\theta> 0, \ \ \theta\ \bigg]\)

问题(7)：三角形内放7个圆,圆与三角形面积比=k,求k最大值
NMaximize\(\bigg[\frac{\big(1+\frac{3a(1-a^2)}{1-a}\big)\pi}{\cot^2(\theta)\tan(2\theta)},\ \frac{\pi}{2} >\theta> 0, \ \ \theta\ \bigg]\)

问题(8)：三角形内放8个圆,圆与三角形面积比=k,求k最大值
NMaximize\(\bigg[\frac{\big(1+\frac{b(1-b^3)}{1-b}+\frac{2c(1-c^2)}{1-c}\big)\pi}{\cot^2(\theta)\tan(2\theta)},\ \frac{\pi}{2} >\theta> 0, \ \ \theta\ \bigg]\)

问题(9)：三角形内放9个圆,圆与三角形面积比=k,求k最大值
NMaximize\(\bigg[\frac{\big(1+\frac{2c(1-c^3)}{1-c}+\frac{b(1-b^2)}{1-b}\big)\pi}{\cot^2(\theta)\tan(2\theta)},\ \frac{\pi}{2} >\theta> 0, \ \ \theta\ \bigg]\)

记\(a=\big(\frac{1-\sin(\pi/6)}{1+\sin(\pi/6)}\big)^2,\ b=\big(\frac{1-\cos(2\theta)}{1+\cos(2\theta)}\big)^2,\ c=\big(\frac{1-\sin(\theta)}{1+\sin(\theta)}\big)^2\)

天山草@

最后一行中，a 的表达式恒等于零， 错了吧？ π/2 是不是应改为 2θ ？

问题 (4) 中那个分式，“1+ ” 的后面好像也有错，分子分母中都有 (1-a)，为什么不约去？    似乎分母中那个 1-a 应当改为 1+a。

天山草@

顶角值的一半好像都对。但比值有误者较多。以问题(3)为例，公式中少了一个乘数 π。
再看问题(4)，按公式算出比值是 0.7698，错了，应该是 0.806133。

王守恩

天山草@ 发表于 2020-10-15 00:12
顶角值的一半好像都对。但比值有误者较多。以问题(3)为例，公式中少了一个乘数 π。
再看问题(4)，按公式 ...

谢谢天山草@！错误已改(公式中少了一个乘数 π)，问题(4)是这样的：
NMaximize\(\bigg[\frac{\big(1+\frac{3a(1-a)}{1-a}\big)\pi}{\cot^2(\theta)\tan(2\theta)},\ a=\big(\frac{1 - \sin(\pi/6)}{1 + \sin(\pi/6)}\big)^2,\ \  \frac{\pi}{2}>\theta> 0, \ \ \theta\bigg]\)
{0.806133, {\(\theta\) -> 0.523599}}